Netradičné študentské predstavy o matematických poznatkoch :
Každá postupnosť konverguje !!!

Vladimír Zahoranský (FMFI UK 2004)
(Skúsenostný príspevok pre InformationCenter)

Úvod - spoločný pre všetky príspevky (General introduction)

Počas svojho štúdia som strávil veĽmi veĽa času v Univerzitnom Pastoračnom Centre sv. Jozefa Freinademetza (UPeCe - www.upc.uniba.sk). VeĽmi často som doučoval matematiku študentov rôznych druhov vysokých škôl. Z týchto stretnutí som sa veĽmi veĽa dozvedel o procese tvorby matematického poznania. Netradičné otázky, prístupy, myšlienkové stratégie neboli nevšednosťou. Po odstupe času, rozhodol som sa tieto nadobudnuté skúsenosti publikovať. Obzvlášť v súvislosti s používaním software Mathematica vo výuke. Software Mathematica predstavuje veĽmi užitočnú pomôčku. No to najdôležitejšie nieje ani tak v software Mathematica, počítači, metodike pre študenta, ale v osobnostnom rozvoji samotného študenta, toho, čo výukou získa, v procese budovania svojho poznania. A práve k tomu slúžia moje príspevky poukazujúce na potrebnosť využívať software Mathematica vo výuke, no zároveň na potrebe čoraz viac prenikať do hĺbky procesov budovania matematického poznania samotného študenta. Netradičné, zvláštne, bizardné reakcie, postuje, pohĽady ukazujú, ako málo stačí aby intelektuálna práca samotného študenta bola nepochopená, odsudená "na zmar". Pritom predstavy študenta sú iba určitým nedorozumením, nepresnosťou, nepochopením určitého faktu, nedokončením určitého poznávacieho procesu, no v každom príspevku nachádzam pevné jadro, v zásade správne pochopené poznanie od ktoreho sa treba odraziť. Verím, že pre pedagógov na vysokých školách (obzvlášť VŠTEZ) budú moje skúsenosti užitočné.

Úvod (Introduction)

Predstavte si, že ste na skúške z matematickej analýzy a skúšajúcemu poviete výrok : "Každá postupnosť konverguje !!!" Nieje ťažké si predstaviť jeho reakciu, priďte na ďalší termín  ... Je však možné na základe tohto signálu naznačujúci hrubú neznalosť problematiky limity povedať, že daný študent skutočne "vôbec" neovláda danú problematiku, má v nej veĽké nedostatky? Alebo nejde náhodou o určité nedorozumenie, nepresnosť pochopenia matematického, prirodzeného jazyka a "programovacieho" jazyka Mathematica? Neukončenie poznávacieho procesu tohto pojmu? Prečítajte si túto moju skúsenosť.

Učebnice vyššiej matematiky v zásade nerozlišujú medzi pojmom limita (postupnosti, funkcie) a konvergencia. Hovoríme, že postupnosť konverguje, keď má konečnú limitu. Ak limita neexistuje, alebo je nekonečno (či už kladné alebo záporné), tak povieme, že postupnosť (funkcia v bode) diverguje, prípadne sa určuje množina hromadných hodnôt. Podobne je to implementované aj v software Mathematica. Môžeme si povedať, načo treba pojem konvergencie. A ako je vlastne definovaný? Čo vlastne hovorí a čo znamená? Pre študenta absencia abstraktnej formálnej definície môže spôsobiť problém. Limita formálne presnú definíciu má, konvergencia nie. Naviac, určité predstavy, fenomény, nemajú explicitne zaužívané pomenovanie.

Pre lepšie pochopenie, uvádzam najprv základné predstavy o pojme Limita postupnosti reálnych čísel, ktoré sú dôležité pre moju skúsenosť. Následne uvádzam predstavy študenta, výsledky z rozhovoru. Predstavu nekonečna beriem za zvládnutú a preto sa jej nevenujem. Tak aj, neuvádzam základné "prechodové" separované modely medzi pojmom Limita postupnosti a Limita reálnej funkcie v (konečnom) bode, keďže daný študent, nazvyme ho Tomáš, má tieto separované modely zvládnuté výborne.

Predstavy potrebné na pochopenie pojmu Limita postupnosti :

Na scénu matematickej analýzy vstupuje pojem limity reflektujúci správanie sa číselnej postupnosti pre dostatočne "veĽké členy", "idúce" do nekonečna. Na pochopenie základného kameňa infinitezimálneho počtu, úvah, je potrebné dôkladne pochopiť veĽmi veĽa veĽmi rozličných separovaných modelov. Pre budovanie týchto predstáv je software Mathematica veĽmi užitočný nástroj. UĽahčuje pracnú časovo náročnú prácu a zároveň software Mathematica otvára priestor pre experimentovanie, overovanie osobných predstáv. Limitu možno chápať ako vlastnosť postupnosti, jej definíciu ako kritérium na zistenie či daná hodnota je alebo nieje limitou postupnosti, ako výsledok procesu blíženia sa stále viac do nekonečna, ako vlastnosť číselných postupností na štuktúre na ktorej ju študujeme, ako určitej hodnoty, "vlastníctva" postupnosti, ako počtový kalkul na prácu s neurčitými výrazmi, ako nástroj (technológiu) na budovanie nových užitočných pojmov, matematických objektov. Tieto separované (univerzálne) modely, študentove predstavy, si preto pozornejšie predstavme.

Limita ako vlastnosť postupnosti :

Limit[(2  n + 3)/(n + 1), n -> ∞]

Limit[(5  n^2 + 1)/(n + 3),  n -> ∞]

Limit[(-1)^n, n -> ∞]

Postupnosť čísel môže mať mnoho vlastností. Napr. daná postupnosť má tú vlastnosť, že je aritmetická postupnosť, prípadne ohraničenosť. Podobnou vlastnosťou je aj limita. Niektoré ju majú, iné nie. Pre študenta je software Mathematica veĽmi užitočná pomôcka na urobenie rozhodnutia - či má postupnosť limitu, ak áno, tak akú. Stačí syntakticky správne napísať zadanie a Mathematica dá rýchlo výsledok. Ak postupnosť má limitu, tak Mathematica dá určite správnu odpoveď, hodnotu. Mathematica disponuje účinnými výpočtovými algoritmami, ktoré veĽmi rýchlo spočítajú hodnotu limity. Ak postupnosť diverguje do nekonečna, aj v tomto smere študent rýchlo zistí odpoveď. Ak vo FrontEnde dostane niečo "divné", interval, indeterminate a pod, tak vie, že túto vlastnosť daná postupnosť nemá. Pre väčšinu študentov vďaka software Mathematica netreba sa trápiť s rátaním limít, veď čo je výsledkom počítania limity? Odpoveď na otázku, či má daná postupnosť limitu. Ak áno, tak akú hodnotu. A to je všetko. Samotná táto predstava pre pochopenie tohto pojmu s ohĽadom na ďalšie štúdium matematickej analýzy však nestačí!

Definícia limity ako kritérium zistenia či daná hodnota je limitou danej postupnosti :

Limit[(2  n + 3)/(5  n + 1),  n -> ∞] == 
      2/5

Limit[Log[3  n + 5^n]/Log[n^2 + 7^n], 
        n -> ∞]  ==  5/7

Limit[n!/(n + 2^n), 
        n -> ∞] == ∞

Limit[(-1)^n, n -> ∞] == {-1, 
        1}

Čo vlastne hovorí znenie definície limity? Alebo ako a čo sa ráta pomocou definície limity? Jedna z možností interpretácie, predstavy, pre študenta je, že definícia je kritérium podĽa ktorého rozhodneme, či dané číslo, daná hodnota, je limitou postupnosti, alebo nie. Dané číslo je limita postupnosti, ak platí ϵ-δ podmienka (implikácia) z definície. Definíciu možno chápať, povedz číslo a ja zistím, na základe overenia definície, či je limitou postupnosti alebo nie. Poviem, dobrý typ, zlý typ. Pri reálnom počítaní, zisťovaní hodnoty limity, samozrejme podĽa definície nepostupujeme a netestujeme správnosť typu. Uhádnuť hodnotu väčšinou nieje Ľahké a väčšinou nieje ani možné. Máme rôzne vety, kritériá, ktoré dávajú metódy ako postupovať oveĽa efektívnejšie. Explicitne znenie definície sa preto pri reálnych výpočtoch objavuje veĽmi zriedkavo, čo je jeden z dôvodov, prečo študenti zneniu definície, vymedzeniu pojmu, nerozumejú. V tomto smere pre študenta software Mathematica opäť poskytuje možnosti ako zefektívniť prácu. Stačí syntakticky správne zapísať vstup a hneď sa dozvieme odpoveď. Tento prístup, tento náhĽad, je vhodný keď programujeme výpočty. Zisťujeme, či sa obsah jednej premennej zhoduje s práve vykonávaným výpočtom, či odpovedá definovaniu objektu. Pre schopnosť budovať matematické výpočty v software Mathematica je potrebné, aby študent prešiel touto predstavou, separovaným modelom, definície limity.

Limita ako výsledok procesu blíženia sa stále viac do nekonečna

Table[(3  n + 5)/(n + 3), {n, 1, 160, 10}]

Table[N[(3  n + 5)/(n + 3), 10], {n, 1, 1600, 100}]

Table[1/2^n,  {n, 1, 16}]

Table[N[1/2^n],  {n, 1, 16}]

Table[(-1)^n, {n, 1, 16}]

Table[4^n/n, {n, 1, 16}]

Table[N[3^n/(n + 3), 10], {n, 1, 16}]

Čo vlastne znamená, keď sa povie, že pre n idúce do nekonečna sa postupnosť približuje k určitej hodnote, svojej limite? Pre študenta je to proces, že keď vezmem čoraz ďalší a ďalší člen, väčšiu a väčšiu hodnotu, tak dostanem čoraz bližšiu hodnotu k hodnote limity. Veď, väčšinou hodnota limity sa v praxi rátajú numericky, zisťuje sa, že pre dosť veĽké n či sa hodnota blíži určitému číslu, či sa "vyčleňuje" ešte jedna hodnota (hromadna hodnota). Stačí syntakticky správne zapísať výraz, urobiť tabuĽku, dobre experimentálne zvoliť hodnoty a software Mathematica urobí veĽmi rýchlo veĽmi veĽa výpočtov. V tomto smere vďaka software Mathematica študent vidí nielen interpretáciu limity, ale mnoho ďalších fenoménov. Ako rýchlo sa postupnosť približuje svojej hodnote, prečo podiely racionálnej funkcie s exponenciálou väčšinou skončia "do určitého člena vyrovnanie" a potom exponenciála (so stále kladným exponentom) začne "rýchlo ťahať" hodnotu k nule. Teda, ktoré výrazy sú ako "zodpovedné" za rýchlosť konvergencie. Pri reálnych výpočtoch, pri určitých integráloch, pri zisťovaní správania stačí urobiť jednoduchú tabuĽku a vidíme čo sa deje. V tomto smere software Mathematica predstavuje veĽmi užitočný nástroj na budovanie tejto predstavy o limite pre študenta.

Limita ako hodnota, "vlastníctvo" postupnosti

Limit[n^3/(3  n^2 - 4) - n^2/(3  n + 1), 
      n -> ∞]

Limit[((-2)^n + 3^n)/((-2)^(n + 1) + 
            3^(n + 1)), n -> ∞]

Limit[n (Sqrt[n^2 + 2  n] - 2  Sqrt[n^2 + n] + n), 
      n -> ∞]

Limit[(n! + 1)/(n*3^n + 1), 
      n -> ∞]

Limit[((2  n^2 + 7)/(n^2 + 3))^((3  n^3 - 
                11)/(4  n^2 - 12)), n -> ∞]

K niektorým číselným postupnostiam môžno priradiť určité číslo (čísla), ktoré nejakým spôsobom túto postupnosť charakterizuje, vyjadruje určité vlastnosti, určité správanie sa tejto postupnosti. Napríklad, ak je postupnosť aritmetická, tak možno jej priradiť diferenciu. Diferencia hovorí aký je rozdiel medzi nasledujúcim a predchádzajúcim členom. S prvým členom tak presne charakterizujú hodnotu Ľubovolného iného člena postupnosti. Je to hodnota, ktorá je "vlastníctvom" aritmetických postupností. Ak postupnosť nieje aritmetická, tak toto "priradenie" nemá zmysel, neexistuje. Podobne možno k postupnostiam priradiť aj iné hodnoty. Jednou z nich je aj limita. Je to taktiež "vlastníctvom" zadanej postupnosti. Hodnota, ktorá hovorí, ku ktorému číslu sa postupnosť, pre "dosť veĽké" členy, približuje. Niektoré postupnosti toto "vlastníctvo" majú, či už ako konečnú alebo nekonečnú limitu, iné postupnosti toto "vlastnictvo" nemajú. Čiže, k postupnosti "priraďujeme" určité číslo, hodnotu, ktorá predstavuje určité správanie sa tejto postupnosti. Ako keby sme postupnosti "zavesili" "ceduĽu" na ktorej by bolo uvedené jedno číslo, jej limitu, prípadne nekonečno (kladne, záporné), ak existuje nevlastná limita. PochopiteĽne, tak ako pri diferencii v aritmetickej postupnosti, aj pri limite, môžeme skúmať rôzne vlastnosti a vzťahy s touto "hodnotou". Jednoznačnosť, súčtové, rozdielové, súčinové a podielové vzťahy a pod. Software Mathematica v tomto smere predstavuje účinný nástroj ako túto hodnotu zistiť, ako ju vypočítať. Tak aj, software Mathematica je užitočným nástrojom pre zisťovanie prečo daná postupnosť toto "vlastníctvo" nemá. Pre študenta, pre správne pochopenie toho čo sa robí keď sa ráta limita, keď sa vytvárajú výpočty na princípe limity, keď sa budujú iné pojmy, čiže limita slúži ako technológia na zavádzanie iných pojomv, ako integrál, je potrebné, aby študent mal túto predstavu limity dôkladne zvládnutú.

Limita ako počtový "kalkulus" s neurčitými výrazmi

(Samozrejme, uvažujem tieto vzťahy za predpokladu, že limity na Ľavej a aj pravej strane existujú, teda, keď neurčité výrazy dávajú zmysel. Tak aj, pri podieli predpokladám, že daná postupnosť má iba nenulové členy.)

Čo vlastne znamená proces "rátamia" limity? Buď si typnúť hodnotu a podĽa definície dokázať, že je to správny typ. Alebo využiť dokázané, odvodené vzťahy z definície ako hore uvedené vzorce, prípadne použiť určité "osvedčené" riešiteĽské stratégie. Čo vlastne znamená, pri pohĽade na postupnosť, určovanie k nej určitej "špecifickej" hodnoty - limity? Ako narábať s číslami na ich "ceduĽách". Týmto zavádzame nový "počtový kalkulus" (nečudo, že v Anglicky hovoriacích krajinách sa tejto časti matematiky hovorí calculus). Limita je totíž ten pravý nástroj pomocou ktorého môžeme narábať s neurčitými výrazmi. Čiže, prechádzame od rátania jednej postupnosti k iným, vhodnejším, ku ktorým už vieme limitu lepšie zrátať, prípadne úplne dať odpoveď. Čiže, tieto vzťahy hovoria o tom, ako možno prechádzať od jednej postupnosti s ich limitou (ak existujú) k iným bez toho, aby sa čokoĽvek stalo s výsledkom. Sú to isté "ekvivalentné" úpravy ("identity") na neurčitých výrazoch, ktoré môžeme slobodne vykonávať. Čím viac týchto vzťahov máme, čím lepšie riešiteĽské stratégie ovládame, tým vieme väčšiu škálu limít rátať. Táto zbehlosť rátania limít teda nieje povinné "trápenie" študentov, ale prezentácia budovania novej kalkulatívnej techniky na nové druhy objektov - limít postupností a objektov od nej "odvodených". Čo je zároveň vynikajúcou propedeutikou na integrály a iné partie matematiky. Samozrejme, pri budovaní ďalších objektov na princípe limity, budú tieto vzťahy hrať dôležitú úlohu pri odvodzovaní podobných vzťahov, ktoré by mohli platiť na novodefinovaných objektoch. Ak realizujeme konkrétne výpočty v software Mathematica v ktorých sa objavuje nejakým spôsobom limita, realizujeme ich cez "ekvivalentné" prechody (transformácie) tak, že sa výsledná hodnota nemení. A práve, "výpočtová" predstava budovania formálneho kalkulu s neurčitými výrazmi je podstatnou skúsenosťou pre pochopenie limity a vôbec, infinitezimálneho počtu ako "novej" formy počítania, "novej" technológie výpočtov. V tomto smere software Mathematica predstavuje veĽmi užitočný nástroj. Stačí vo FrontEnde správne zadefinovať základné vzťahy na rátanie limít, vhodné pomocné funkcie, ktoré predstavuú riešiteĽské stratégie na určitý druh limít a stačí pre študenta, aby postupne realizoval krok pro kroku od zadania tieto "ekvivalentné" úpravy kým nedostane výsledok. Táto možnosť využitia software Mathematica vo výuke predstavuje zásadné zvyšenie kvality nadobudnutia zručnosti s rátaním limít za nepomerne kratší čas než "ručne" na papieri. Naviac, software Mathematica ráta správne, nepomýli sa, na rozdiel od "ručného" rátania.

Limita ako štrukturálna vlastnosť hromadných bodov postupnosti

Limit[(1 + 1/n)^n, n -> ∞]

Limit[((-2)^n + 3^n)/((-2)^(n + 1) + 
            3^(n + 1)), n -> ∞]

Limit[(-1)^n, n -> ∞]

Limit[Sin[n], n -> ∞]

Čo hovorí Hajneho definícia limity? VoĽne povedané, keď sa blížime akýmkoĽvek spôsobom k číslu a definičného oboru, tak potom limita postupnosti funkčných hodnôt existuje a rovná sa "dosadeniu" hodnoty v bode a, blíži sa k f(a). Alebo, že hodnota v bode a je číslo A, ktoré je jednoznačne "určiteĽné" (odstraniteĽný signulárny bod). Teda, ak skúmame limitu funkcie, tak veĽmi účinne môžeme skúmať existenciu (či skôr neexistenciu) na pozadí, na štruktúre definičného oboru. Inák povedané, ak limita existuje, tak zachováva sa vždy "charakter" konvergencie z definičného oboru k bodu a na obore hodnôt k bodu (číslu) A. Ak nájdeme dve rôzne postupnosti, ktoré konvergujú k bodu a a na obore hodnôt konvergujú k dvom rôznym hodnotám, máme argument, že limita neexistuje. Hajneho definícia limity hovorí, že funkcia f má v bode a limitu číslo A, ak pre Ľubovolnú konvergentnú postupnosť konvergujúcu k bodu a, konverguje postupnosť ich funkčných hodnôt k číslu A. Couchzho ϵ-δ definícia cez okolia pracuje najprv na obore hodnôt, vezmime Ľubovolné okolie čísla A, tak potom musí existovať okolie bodu a také, že pre všetky prvky definičného oboru (okrem čísla a) patriace do okolia bodu a, ich funkčné hodnoty patria do zadaného (zvoleného Ľubovolne) okolia bodu A. Hajneho definícia skúma štruktúru limity na definičnom obore. Pre študenta je veĽmi potrebné pochopiť pozorne rozdiely týchto dvoch definícii. Software Mathematica v tomto smere dáva veĽké možnosti sledovať, skúmať správanie sa funkcie cez postupnosti. Software Mathematica umožňuje vizualizovať tento proces veĽmi efektívne.

Ak sa dozvieme, že limita neexistuje, zaujíma nás aj dôvod, prečo limita neexistuje, čo spôsobuje, že limita neexistuje. Pri postupnosti (-1)^n je tým dôvodom to, že možno vyčleniť dve hodnoty, -1 a 1, v ktorých v "Ľubovolnom malom" okolí sa nachádza nekonečne veĽa členov postupnosti. Neexistuje však "spoločné malé" okolie v ktorom by bolo nekonečne veĽa hodnôt aj -1 aj 1. Čiže, okolo čísla -1 či 1 (čo sú rôzne čísla) sa zhlukovalo nekonečne veĽa členov postupnosti a to vylučuje existenciu limity. Je to dôvod, vysvetlenie, že na štruktúre hodnôt členov postupnosti došlo k "zhlukovaniu" k dvom rôznym hodnotám. Čiže, táto limita má dve rôzne hromadné hodnoty. Ak má mať postupnosť limitu, tak množina hromadných hodnôt postupností je jednoprvková. Alebo, že limes superior sa rovná limes infinioru. Prípadne, že ked vezmeme dve vhodné rôzne konvergentné nekonečné vybrané podpostupnosti také, že ich limity sú rôzne hodnoty, v našom prípade -1 a 1, tak limita neexistuje. (Určite je správne si všimnúť podobnosť tejto úvahy s úvahou v predošlom odstavci pri Hajneho definícii limity funkcie v bode) Čo hovorí, že keď postupnosť konverguje, tak každá vybraná nekonečná konvergentná podpostupnosť konverguje k tej istej hodnote. Čo hovorí o štruktúre členov postupnosti, o tom, že sa "zhlukujú" okolo jedinej hromadnej hodnoty. Opäť software Mathematica tým, že dáva pre študenta "divný" výstup, "požaduje" uvedomiť si, jednak čo tento výstup znamená, ako vypadá množina hromadných hodnôt. V tomto smere sofhware Mathematica umožňuje klásť a skúmať rôzne hypotézy, ako pre overenie nájsť vhodnú vybranú podpostupnosť. Ak programujeme rôzne výpočty, tento fakt dáva možnosť ako sledovať, či na danej údajovej štruktúre, prebieha správne výpočet. Zvolím dve rôzne podpostupnosti a zistím, či dostanem rovnaký výsledok "procesu", ktorý sa k niečomu "blíži", majú naše údajové štruktúry "takýto" štrukturálny charakter. Prípadne hĽadať, kde sa nachádza "programátorská" chyba.

Prečo Sin[n] dáva výpis celý interval [0,1] (alebo bežnejšie <0,1>)? Lebo všetky body tohto intervalu sú hromadné hodnoty (brané oddelene) tejto postupnosti, teda, existuje vybraná podpostupnosť členov, ktorá k danej hodnote konverguje. Zaujímavé je, že množina hromadných hodnôt (interval) má väčšiu mohutnosť než je mohutnosť samotnej postupnosti. Čo opäť vypovedá o štruktúre, štruktúra (množina) hromadných hodnôt je uzavretá (perfektná) množina, ktorá "vyplní" všetky "medzery", čo vysvetĽuje hlbší pohĽad na "zhusťovanie" sa. Táto postupnosť je tým "zlá", že je sama o sebe svojími všetkými členmi "hustá" ako hustá množina (brané ako topologický pojem) uzavretého intervalu [0,1]. Ak by sme si nechali pomocou grafického výstupu software Mathematica zobraziť členy danej postupnosti na úsečke [0,1] tak, že postupne by sa "bodkovali" hodnotami tejto postupnosti, tak zistili by sme, že by sme raz určite "boli" v "blízkosti" každého bodu intervalu [0,1]. Pre študetna videnie takejto animácie vo FrontEnde veĽmi názorne ukazuje čo sa vlastne deje, o čo ide.

Čo znamená, že postupnosť ide do nekonečna? Proste to, že štruktúra členov postupnosti proste ubieha, uletí nad všetky medze. Nech zvolíme Ľubovolne veĽkú hodnotu, tak raz proste príde taký člen, že od neho už všetky ďalšie členy (ktorých je nekonečne veĽa), budú už väčšie než táto "medza".

Čiže, limita postupnosti, funkcie, predstavuje určitý pohĽad na štruktúru funkcie z lokálneho hĽadiska. Čo sa deje "blízko" daného bodu. Ako sa "zhusťujú" hodnoty okolo hromadnej hodnoty, určitého čísla. Vzdialenosť v definícii limity hovorí, že hodnoty či už v definičnom obore alebo obore hodnôt sú "blízko" od bodov (čísel) a, A. Alebo, že keď vezmeme Ľubovolne "malú medzu" vzdialenosti ϵ od čísla A, tak existuje taká "malá medza" vzdialenosti δ od bodu a, že pre všetky prvky definičného oboru, ktorých vzdialenosť od a je menšia ako δ, tak ich vzdialenosť funkčných hodnôt od čísla A je menšia ako ϵ. Pre postupnsti, pre Ľubovolnú vzdialenosť ϵ od čísla A ("kandidáta" na limitu danej postupnosti) určite existuje také číslo N (čo je "vec" "definičného" oboru) také. že pre všetky n>N platí, že tieto členy postupnosti sú už "menej" vzdialené od čísla A. Topológická definícia vraví, že keď si vezmem Ľubovolné okolie čísla A, tak existuje také N, že pre všetky n>N platí, že tieto členy postupnosti patria do "zadaného" okolia bodu A. Čiže, limita ako matematický objekt závisí na štruktúre na ktorej ju skúmame. Dokonca môžu nastať také prípady, že postupnosť sa "blíži", ale jej limita nepatrí do danej množiny, napr. na množine racionálnych čísel limitné zavedenie čísla e. Samozrejme, "prejav" zhlukovania sa prejavuje, "niekde" k niečomu sa táto postupnosť "blíži", teda, že táto postupnosť je Cauchyovská.

Pre študenta je podstatné, aby pochopil štrukturálne pohĽady, aby videl súvislnosť medzi definíciou cez rôzne náhĽady. Cez rôzne situácie. V tomto smere software Mathematica dáva veĽmi široké možnosti. Podrobný výklad je zameraný práve k mojej skúsenosti. Zároveň predstavuje vhodnú bázu "nápadov", "náhĽadov" pre pedagógov na školách VŠTEZ pre vhodné "interpretovanie" pojmu limity. Vizualizačné prostriedky software Mathematica, animácie, umožňujú veĽmi názorne si predviesť čo sa "štrukturálne" deje. Mathematica vďaka symbolickým výpočtom k tomu dáva veĽmi širokú škálu nástrojov, vzory (patterns), abstraktné funkcie a pod, možnosť vhodne naraz použiť rôzne programátorské paradigmy, čo nesporne patrí medzi veĽmi silnú stránku software Mathematica v pohĽade jeho využitia vo vyučovacom procese.

Limita ako nástroj na budovanie nových matematických objektov

Series[Tf[x], {x, a, 4}]

h[x_] = x^2

Table[
      Sum[(h[(k + 1)/n] + h[k/n])/(2*n), {k, 0, n - 1}], {n, 1, 
        16}]

Zavedenie pojmu limity predstavuje zavedenie technológie pomocou ktorej môžeme vytvárať nové matematické objekty. Zavedenie pojmu limity predstavuje zavedenie nového nástroja na riešenie reálnych konkrétnych praktických problémov. Čo treba požadovať? Aby študovaný problém nejakým spôsobom "obsahoval" proces približovania sa. Čo je to derivácia funkcie na otvorenom ohraničenom intervale? (pre jednoduchosť) Zavedenie novej funkcie bodovým určením funkčných hodnôt pomocou určitého limitného vzťahu, procesu blíženia sa k "akejsi" limite typu 0/0. Alebo, že sečnice na grafe spojitej funkcie na otvorenom intervale vo vnútornom bode sa blížia k dotyčnici v danom bode. Fyzikálne derivácia vyjadruje "okamžitú" hodnotu, práve v tomto bode od určitého vzťahu, závislosti, čo opäť predstavuje blíženie sa k "okamžiku", "práve teraz", "v jednom bode".

Čo hovorí Taylorova veta o rozvoji "slušnej" (analytickej) spojitej funkcie na otvorenom intervale do mocninného radu? Vlastne je to opäť postupnosť čiastočných súčtov mocninného funkcionálneho radu, vyjadrujúca proces blíženia sa k danej funkcii. Pre dosť veĽké n sa čoraz viac blížime k pôvodnej funkcii, čo opäť vyjadruje "limitnú" vlastnosť, "približovanie sa", konvergenciu. Ak vezmeme uzavretý podinterval intervalu konvergencie danej funkcie, tak ide o rovnomernú konvergenciu, ktorá hovorí, že sa "rovnomerne" približujeme čoraz bližšie a bližšie k danej funkcii.

Ako spočítať obsah rovinného uzavretého geometrického (bežného) útvaru? Zoberme dosť veĽký štvorec, ktorý sa zmestí do vnútra. Vezmime ďalší štvorec, ktorý sa zmestí do "nevyplneného" priestoru vnútra daného útvaru. Takto postupujme ďalej. Ako spočítame obsah daného útvaru? Proste budeme vytvárať postupnosť čiastočných "obsahov"  - súčtov vložených štvorcov. Opäť vidíme vlastnosť približovania sa. Samozrejme, môžeme zvoliť spôsob "vypĺňania" úplne iný, pričom taký, že nakoniec "vyplníme" daný útvar a nijaké dva vkladané útvary sa "neprekrývajú". Avšak vždy prídeme k tomu istému obsahu. Teda, limita súčtu nech vypĺňame ako vypĺňame (pri dodržaní uvedenej podmienky na vypĺňanie), nech vytvárame postupnosť súčtov obsahov vkladaných útvarov "akokoĽvek" (za splnenia podmienok), bude hodnota jej súčtu, jej limita, rovnaká. Čiže opäť sa prelínajú predošlé pohĽady na limitu. Tu už limita nevystupuje priamo, ale naša rozumne zvolená stratégia na výpočet obsahu útvaru je taká, že stále sa budeme blížiť k hodnote obsahu pôvodného útvaru. Čiže limita sa objavuje v stratégii na budovanie nových matematických objektov cez konvergenciu.

Ako pomocou určitého integrálu počítame plošný obsah pod spojitou funkciou na ohraničenom uzavretom intervale? Napríklad "lichobežnikovou" metódou alebo podpisaním (nadpísaním) obdĺžnikov rozumným spôsobom, tak, že keď rozdelíme interval na "dosť veĽa" bodov tak, že maximálne vzdialenosti medzi susednými bodmi sa skracujú. Prídeme nakoniec k ploche pod pôvodnou funkciou, čo je opäť limitný proces, proces blíženia sa. Limita sa objavuje ako prostriedok, ako stratégia na počítanie plochy pod spojitou funkciou na uzavretom ohraničenom intervale. Opäť ide o konvergenciu určitých matematických objektov - čiastočných súčtov čiastkových obsahov.

Podobne suprémum množiny, napr. hodnôt spojitej kladnej funkcie na uzavretom (otvorenom) intervale ukazuje opäť limitu ako technológiu na chápanie rozličných matematických objektov. Ako hĽadať suprémum množiny? Buď typovanie (študentská metóda "pokusu a omylu") a potom overíme ϵ-definíciou, čo je opäť vlastnosť približovania, alebo využijeme diferenciálny počet. HĽadanie supréma si možno predstaviť aj inák. Postupne zhora, zdola ohraničujeme "lokujeme" jeho hodnotu, postupne "zmenšujeme priestor výskytu", až sa nám ho podarí nejako určiť, alebo aspoň ho odhadnúť. Opäť vidíme explicitne skrytú vlastnosť blíženia sa, vkladanie intervalov.

V tomto smere, opäť uvádzam podrobnejší pohĽad, keďže pri rozhovore s Tomášom som tieto hlbšie pohĽady potreboval na pochopenie jeho rozporu jazyka matematiky a jeho predstavy o konvergencii a limite. Pre študenta je práve prvotná predstava, propedeutika limity či ďalších matematických objektov, ktoré postupne sa v kurze analýzy objavuju, veĽmi podstatná. Software Mathematica vďaka vizualizačným možnostiam umožňuje "vidieť", vizuálne si predstaviť, čo sa deje bez toho, aby bolo treba hlbšie preniknúť do hĺbky formálnej definície. Tento postup odráža proces tvorby separovaných predstáv, napr. pri poznatku Rimanovho integrálu na ohraničenom intervale. Rôzne pohĽady na proces blíženia sa, vyzualizácia rôznych objektov v software Mathematica, dáva priestor pre experimentovanie. Skúšanie čo sa bude diať. Prvotné predstavy o vzťahoch. Ak cez vstupné bunky v notebooku zvolím najprv funkciu f+g a zistím výsledok a potom postupne f a g a hodnoty výsledku sčítam, či platí rovnosť. Táto skúsenostná báza je pre pochopenie týchto pojmov veĽmi dôležitá a veĽmi účinne bude zamedzovať formálnosti poznania pri samotnom "precíznom" výklade týchto pojmov. V rámci svojích možností, v maximálnej miere využívajte vizualizačné možnosti software Mathematica ako propedeutickej pomôcky pre pojmy vytvorené na "technológii" pojmu limita.

Tomášove predstavy o limite a konvergencii

Po pomerne náročnej a rozsiahlej príprave, v ktorej som opísal potrebné predstavy o pojme limita číselnej postupnosti, sa dostavame k samotnej skúsenosti. Táto rozsiahla príprava bola dôležitá hlavne k tomu, aby čitateĽ najprv dobre pochopil jednotlivé "náhĽady" na limitu. Táto forma nesporne uĽahčí čítanie a zrozumiteĽnosť mojej skúsenosti.

Charakteristika Tomáša - NakoĽko naše stretnutie bolo jednorázovou akciou, tak ako večšina mojích publikovaných skúseností, nieje možné presne charakterizovať viaceré didakticky podstatné charakteristiky Tomáša. No zo stretnutia som mal možnosť vidieť, že Tomášova formálnosť poznania sa prejavuje iba na prvej úrovni. Tomáš k svojmu poznaniu pristupuje kriticky. Kriticky zhodnotil, že nerozumie presne zmyslu zavedenia pojmu konvergencie. Zhodnotil, že sám si odpoveď nedá. Preto prišiel za mnou (ako za Ačkarom) aby som mu vyjasnil jeho predstavy. Tomáš chce veciam rozumieť, chce ich sám pochopiť a nevzdáva sa, aj keď sa mu nepodarí hneď na prvý pokus vec pochopiť. Zaujíma sa o problematiku a hĽadá na svoje otázky odpoveď. Tomáš patrí medzi veĽmi dobre prospievajúcich študentov. Tomáš rozumie zneniu a základným vlastnosťam pojmu limita postupnosti a limita funkcie. HĽadá odpovede na hlbšie prenikajúce otázky siahajúce do základov vymedzenia týchto pojmov.

Postup práce - Po vypočutí si Tomáša, po prvotných otázkach či vie sformulovať potrebné definície, či ich vie povedať "svojími slovami", vie ich "vidieť" na konkrétnych príkladoch, som videl, že Tomáš základné separované modely zvládol veĽmi dobre. Nerozumie hlbším, fundamentálnejším pohĽadom. NakoĽko som sám si tieto otázky kládol, pochopil som v čom má ťažkosti. Pripravil som si malé kartičky z papiera, veĽkosti A6. Celkove 8 kusov. Postupne sme prechádzali uvedené modely pojmu limita postupnosti (niekde aj limita funkcie). Snažili sme sa na limitu hĽadieť z rôznych pohĽadov. Moj postup bol taký, že som predložil pohĽad a nechal som ho analyzovať, uvažovať čo znamená. Aby jeho chápaním sa na moje modely pozrel. Jeho výsledy analýz som stručne zapisoval. Postupne sa kryštalizovali predstavy. Tak aj potreba niektoré fenomény pomenovať. Pre lepšie vyjadrovanie, zaviedol som niekoĽko pojmov (v texte ďalej opísané). Nakoniec sme dospeli k záveru, že jeho predstava konvergencie a myšlienkového procesu sa navzajom "zmiešali" nezhodujú sa s formálnou definíciou, a treba ich terminologicky odlíšiť, oddeliť.  Osobne som nebol ten, kto Tomášovi vysvetlil tieto pojmy. Skôr som bol "zrkadlom", spoločníkom, ktorý mu pomôže ešte raz sa na vec pozrieť, rozanalyzovať, shodnotiť svoje predstavy a presvedčenia. Pomocou software Mathematica na jednoduchých konkrétnych príkladoch, či na papieri, sme skúšali rôzne predstavy a príklady. Software Mathematica ako nástroj vizualizácie, ako pomôcka dostať veci "pred oči", sa mi v plnej miere osvedčil.   Nazdávam sa názoru, že tento pohĽad, tento môj postoj je príkladný a prínostný pre učiteĽa na školách VŠTEZ.

Tomášov pohĽad na konvergenciu

Konvergencia a limita :

Konvergencia je vlastnosť, ktorú majú všetky nekonečné postupnosti. Proste, každá nekonečná postupnosť konverguje. Nekonečná postupnosť nemôže nekonvergovať. Konečná postupnosť nemôže konvergovať, lebo má len konečne veĽa členov. Nemôže mať ani limitu lebo k tomu potrebujeme aby mala postupnosť nekonečne veĽa čísel. Limita nemusí existovať. Prípadne je nejaké nekonečno. Ale aj tak postupnosť konverguje. Ak limita neexistuje, tak sa proste povie, že postupnosť diverguje. Ak je limita nekonečno, tak sa iba povie, že postupnosť diverguje do nekonečna. Ale hoci postupnosť diverguje, možno z každej postupnosti vybrať vhodnú podpostupnosť, ktorá má limitu. Môžeme to robiť preto, lebo každá postupnosť konverguje.

Konvergencia a derivácia :

Konvergencia je vlastnosť, ktorá sa prejavuje aj pri deriváciách. Funkcie vo vnútornom bode intervalu môže mať deriváciu, čo je limita (f(x+h)-f(x))/h, keď h-čko ide k nule. Tak ako Hajneho definícia limity, tak aj derivácia môže byť braná cez postupnosti blížiace sa k číslu a z funkcie pod limitou. PodĽa toho si vysvetĽujem, že aj derivácie konvergujú. Platia pre derivácie rovnaké "lineárne" vzťahy na rátanie ako pre limity. So súčinom dvoch funkcii je to už horšie, lebo berieme "zložitú" funkciu pod limitou. Ale na konvergencii to nič nemení. Derivácia vyjadrená ako postupnosť vždy konverguje.

Konvergencia a určitý Rimannov integrál :

Konvergencia je vlastnosť, ktorá sa prejavuje aj pri integráloch. Pozri, ak chcem spočítať plochu pod krivkou ohraničenou spojitou funkciou, tak čo robím, konvergujem pridávaním bodov na x-ovej osi tak, aby sa maximálna vzdialenosť delení znižovala. Môžem to robiť, lebo takto vytvárané postupnosti majú vlastnosti konvergencie potrebné na zavedenie určitého Rimannovho integrálu. Podmienka Rimannovskej integrovateĽnosti hovorí, že Rimannov integrál je číslo pre "slušné" funkcie. Také čo splňujú, že pre delenia s malou normou implikuje, že rozdiel horného a dolného integrálneho súčtu je malý. Ale to je pre slušné funkcie. Postupnosti delenia vždy konvergujú a tak Rimannov integrál, tak ako limity, nemusia existovať. Ale to je vec limít a integrálov. Počul som, že existuje iný druh integrálov, ktorý umožňuje viac funkcii zintegrovať.

Konvergencia a Taylorov rad :

Pri Taylorovom rade opäť nemáme po ruke limitu, lebo rozvoj môže pre nejaké číslo dať súčet nekonečno alebo súčet radu nemusí vôbec existovať. Ale aj tak čiastočné súčty konvergujú. Preto Taylorov rozvoj konverguje.

Zopár otázok na pochopenie problému :

Určite je správne ukázať niektoré konkrétne otázky a konkrétne Tomášove odpovede.

Otázka: Pri tvorbe horných a dolných integrálnych súčtov, pri formálnom zavedení, sa objavuje infimum a suprémum funkcie na danom intervale. Horny Rimannov integrál je definovaný ako suprémum čísel - útvarov "vpísaných" do plochy funkcie, ktorú skúmaš. Ako to súvisí podĽa teba s konvergenciou?

Tomáš: Suprémum opäť je čosi, čo v sebe skrýva, že každá nekonečná postupnosť konverguje. Suprémom množiny reálnych čísle môže byť iba také číslo, ku ktorému sa z danej množiny dá nájsť postupnosť blížiaca sa k danému číslu. Proste taká, že jej limita je dané číslo. Ale to číslo samotné nemusí patriť do danej množiny. Limita nepatrí do množiny, ale postupnosť má vlastnosť konvergencie k suprému.

Otázka: Ako je definovaná konvergencia v knihách z matematickej analýzy. Vieš mi povedať definíciu?

Tomáš: Presnú definíciu som nenašiel. Ale pochopil som, že každá postupnosť konverguje. Hovorí sa, ak k postupnosti dokážem určiť limitu, tak postupnosť konverguje.

Otázka: Ako myslíš slovo určiť?

Tomáš: Priradiť, nejakým spôsobom definovať, pracovať s limitou. Pri integrále sú to postupnosti súčtov. Integrál sám v definícii neobsahuje limitu, ale je skrytá za konvergenciou.

Otázka: Čo si myslíš, prečo a ako sa definuje bodová a rovnomerná konvergencia funkcionálnych postupnosti?

Tomáš: Tu si niesom istý mojím pohĽadom. Nerozumiem prečo tomu takto hovoria. Tu sa zapísala presná definícia nejakého druhu konvergencie, pričom všeobecná definícia nikde uvedená nieje. Ja som to pochopil tak, že konvergencia je elementárny pojem matematiky, tak ako množina. Tej definíciu tiež nikde nenájdeš.

PohĽady Tomáša na prezentované separované modely :

Limita ako vlastnosť postupnosti

Limita je veĽmi dôležitý pojem. Je naozaj určitou vlastnosťou postupnosti. Pomocou limity postupnosti reálne definujeme rôzne veci v analýze, derivácie, integrály. Veď limita keď existuje, tak existuje práve jedna. A jednoznačnosť je veĽmi užitočná vlastnosť. Limita dáva práve jednu hromadnú hodnotu postupnosti. Máme jednoznačnosť naších úvah. Konvergencia ako vlastnosť postupnosti nieje jednoznačná. Z pohĽadu matematickej analýzy je limita asi ten najdôležitejší pojem.

Definícia limity ako kritérium zistenia či daná hodnota je limitou danej postupnosti

Takto som ešte nikdy nepočul interpretovanú definíciu limity. Nikdy ma nenapadlo sa na limitku takto pozrieť. Povedz číslo a definícia zistí či je to limita lebo nie. Podobne je to aj pri integráloch. Podmienka integrovateĽnosti. Povedz číslo a ja poviem či to číslo je integrálom zadanej funkcie od zadaného intervalu. Keď sa na to pozerám, konvergencia v sebe nemá žiadne kritérium. Nieje žiadna podmienka na splnenie ktorej testujeme "vkladaný" objekt. Je to iba vlastnosť nekonečných postupností.

Limita ako výsledok procesu blíženia sa stále viac do nekonečna

Tomuto modelu rozumiem. Vraví, ako možno previesť formálnu nič nehovoriacu definíciu do numeriky. Tieto príklady limity sme mali aj na prednáške a cvičeniach. Tu veĽmi používam matematický software Mathematica. Keď nemám ani šajmu čomu by sa limita mohla rovnať, tak proste skusím si urobiť tabuĽku, graf a vidím či sa to niekde "zbiera" alebo nie.

Limita ako hodnota, "vlastníctvo" postupnosti

Súhlasím. Ak postupnosť má limitu, možno k nej priradiť určité číslo ktoré blíženie sa do nekonečna veĽmi dobre vystihuje. Na rozdiel od limity konvergencia je vlastníctvom všetkých postupností. Nedá sa k nej priradiť žiadné číslo.

Limita ako počtový "kalkulus" s neurčitými výrazmi

Keď som počítal limity z Kubáčkových skript, tak som pochopil, že na to, aby som sa dobre naučil počítať limity, je potrebné. Limita

Limita ako nástroj na budovanie nových matematických objektov

Aby novodefinované objekty mali pekné vlastnosti. Preto sa zavádzaju pomocou limity. Limita je v tomto smere naozaj užitočná, lebo to čo definuje dáva jednoznačnosť úvahám. Ak integrál funkcie existuje, tak je jeho hodnota určená jednoznačne.

Terminológické vyjasnenie, vyjasnenie problému :

Ako je zrejmé z rozhovoru, Tomáš v zásade rozumie tomu, čo je limita, derivácia, integrál. Kladie si však otázku po zmysluplnosti, aký zmýsel, akú podstatu, predstavuje limita vo všetkých najdôležitejších pojmoch matematickej analýzy. Tu som zistil, že Tomáš analýze rozumie, ale v jeho vedomí sa ešte analýza neoodelila od iných "disciplín" matematiky, ktorými prešiel. Sám sa o oddelenie už viackrát pokúšal. Na to, aby oddelil algebru, analytickú geometriu od analýzy objavil, že ani v algebre a ani v analytickej geometrii sa proces blíźenia v definíciách či vlastnostiach v zásade neobjavuje. Ako "voĽný" pojem našiel Tomáš pojem konvergencie, ktorého "volnejšie" zadefinovanie pochopil ako "zadefinovanie" tejto blížiteĽnosti.  Dohodnime sa na terminológii. Preto som sa s ním dohodol, že rozlíšime terminológicky rôzne aspekty limity. Dohodli sme sa, že ich podĽa modelov pomenujeme ako : Blíženie, blížiteĽnosť, čosi je blížiteĽné  bolo ekvivalentné k : Infinitezimálne, infinitezimálnosť, čosi sa správa infinitezimálne  Hodnotová limita postupnosti : Limitová počtovnica

Reedukácia - (Reeducation)

Tomášovo poznanie formálnosťou poznania netrpí. Neprejavuje sa ako pamäťové, nepochopené, nepreviazané poznanie. Tomáš je k svojmu poznaniu kritický. Preto reedukácia nepredstavuje znovubudovanie, tvorbu neformálneho poznania. To, čo Tomáš potreboval je "vidiť pred sebou", všetko to, s čím sa oboznámil. Porozumieť matematickej analýze z prvého ročníka ako z nadhĽadu. Pochopenie konvergencie ako "možnosti" bol bod, v ktorom došlo k nedorozumeniu, rozporu jazykov matematiky a jeho uchopenia. Preto po videní kartičiek, uvedomení si, že do jeho konceptu jeho chápanie konvergencie nezapadá, zmysel "opravených" viet je už plne matematicky správny. Dôležitejšia je však fáza budovania ďalšieho poznania na odbore matematika, keď prídu nové a hlbšie štruktúry matematickej analýzy ako metrické priestory, normované priestory, Hilbertove priestory, Frechetove priestory či rôzne topológie. Tvorba nadhĽadu a oddelovanie "celkov" poznania je pre Tomáša veĽmi potrebná a musí jej venovať veĽkú pozronosť. Výsledkom za túto jeho intelektuílnu prácu je hlboké, dôkladne pochopené, pozorne premyslené poznanie o ktoré sa môže i pri pokročilých aplikáciách v budúcnosti oprieť. Preto jeho reedukácia spočíva v skúsenosti pozorne vyčleňovať matematické celky, uvedomiť si ich myšlienkový rozdiel a tieto "epistemológické" vlastnosti "nekrížiť" s formálnymi precizovanými definíciami pojmov a znení viet.

Záver (Conclusion)

Netradičné študentské predstavy predstavujú veĽmi hlbokú analýzu chápania rozličných matematických poznatkov. Predstavujú veĽmi cennú bázu pre pedagoga na zamyslenie sa nad prezentáciou konkrétnych matematických poznatkov. Tomáš pojmu limita postupnosti, funkcie v bode, veĽmi dobre rozumie. V jeho poznaní štúdium matematickej analýzy predstavuje veĽmi hlbokú kognitívnu zmenu z matematiky. Tak hlbokú, že si vyžaduje veĽmi pozorné štúdium, veĽmi pozorné sledovanie zámerov, zmyslu ich zavedenia. Správne pochopil, že limita hraje kĽúčovú úlohu pri budovaní matematickej analýzy. Stratil však motív. Terminológické oddelenie pojmu konvergencia a infinitezimálnej vlastnosti (substancie) nieje len otázka zmeny pomenovania niečoho čo zaužíval. Predstavuje vyčlenenie, oddelenie, celej veĽkej štruktúry poznatkov od algebry a analytickej geombetrie. Pre neho pojem konvergencie je signal ukazujúci na komplexné správanie sa "približovania sa", "ubiehania" do nekonečna. Hlbková analýza jednotlivých modelov pre neho bolo postupné uvedomovanie si, zmocňovanie sa už jasne kognitívne vyčleneného celku, ktorý pre neho predstavuje novú kvalitu, novú formu poznania. Z tohto hĽadiska je potrebné pri vyučovaní tak zásadnej kognitívnej zmeny (zlomu) akou je príchod na scénu matematiky pojmu limita, aby študent mal možnosť z dlhodobého hĽadiska, aj pri preberaní poznatkov diferenciálneho a integrálneho počtu, postupne oddeĽovať a rozlišovať jazyk matematiky, jazyk vyčleňujúcej sa "novej" disciplíny - analýzy a prirodzený jazyk, jazyk v ktorom sú formulované rôzne aplikácie. Skúsenosť Tomáša ma upútala aj tým, ako veĽmi je pre pojmy ako limita podstatná propedeutika a kryštalizácia. V tomto smere je potrebné, aby pedagóg na škole VŠTEZ v rámci svojích možností maximálne využíval imaginatívne možnosti budovania matematického poznania cez vizualizačné možnosti software Mathematica. Vzory, všeobecné funkcie, predstavujú v software Mathematica didaktickú možnosť ako budovať abstrakciu rôznych separovaných modelov na určitý poznatok.