LC209 - TP4 : Equations non linéaires, équations différentielles

UPMC, Paris. 		
(Bruno Madebène, madebene@spmol.jussieu.fr)
(Dao Trinh, dao.trinh@upmc.fr)

Exercices

Exercice 1 : Calculs de pH

On veut calculer la concentration des espèces présentes dans une solution préparée en introduisant 0,01 mole d'un acide AH dans une fiole jaugée d'un litre, que l'on a complétée avec de l'eau distillée. La constante d'acidité de l'acide vaut Ka=0.00001.

Rappeler les 4 équations reliant les concentrations de toutes les espèces chimiques qui doivent être respectées simultanément. Mettre le système d'équation dans une instruction de type Solve[...] pour le résoudre. Toutes les solutions sont-elles valables ? (Utiliser des variables H3O, OH, A et AH sans [ ] et charges, Mathematica aura sinon du mal)

Pour trouver une solution unique valable, déterminer les valeurs des concentrations en utilisant la fonction FindInstance et en rajoutant des conditions sur les valeurs possibles des concentrations.

Calculer le pH de la solution et le taux de dissociation de l'acide.

Comparer avec les approximation d'acide fort, d'acide faible et de la solution de l'équation quadratique K=(((α^2)c)/(1-α)) qui donne le pH par [H3O+] = α c

Exercice 2 : Cinétique chimique

On veut étudier les réactions successives suivantes  :
 A  (Overscript[⟶, (Subscript[k, 1])])  B (Overscript[ ⟶, (Subscript[k, 2])])  C 
où (Subscript[k, 1]) et (Subscript[k, 2]) sont les constantes de vitesse. Les concentrations de A, B et C en fonction du temps satisfont les équations différentielles suivantes

((d a(t))/(d t))=-(Subscript[k, 1]) a(t)
((d b(t))/(d t))=(Subscript[k, 1]) a(t)-(Subscript[k, 2]) b(t)
((d c(t))/(d t))=(Subscript[k, 2]) b(t)

Déterminer les fonctions décrivant l'évolution des concentrations au cours du temps (DSolve).

Tracer ces fonctions en prenant pour valeur (Subscript[k, 1])=0.1 (s^(-1)) et (Subscript[k, 2])=0.05 (s^(-1)) et (Subscript[[A], 0])=0.01 mol/L.

Pour quelle valeur de t  la concentration en B est-elle maximale ? Que vaut cette valeur maximale de [B] ?

Exercice 3 : Oscillateur harmonique à une dimension

Dans un espace à une dimension, on considère un système formé de deux particules de masses (Subscript[m, 1]) et (Subscript[m, 2]) évoluant dans un potentiel harmonique V(x)=(1/2)k (x^2). Cela revient à étudier le mouvement d'une seule particule fictive de masse réduite μ=(Subscript[m, 1])(Subscript[m, 2])/((Subscript[m, 1])+(Subscript[m, 2]))  soumise au potentiel V(x).

A)  En mécanique classique :

Rappeler l'équation du mouvement de la particule et résoudre cette équation différentielle avec Mathematica avec les conditions initiales x(t=0)=(Subscript[x, 0]) et x'(t=0)=0.

Tracer le résultat (en fonction de  t ) sur l'intervalle de temps [-10,10] pour (Subscript[x, 0])=1, μ=0.5  pour différentes valeurs de k.

Pour obtenir une densité de probabilité de présence en fonction de x il faut intégrer le mouvement sur une demi-période

  T=(∫_(    x0)^(-x0))((d t)/(d x))dx=-(∫_(-x0)^x0)((d t)/(d x))dx=-(∫_(-x0)^x0)(1/(d x/d t))dx
 Avec la substitution x(t) = x0 cos(ωt) on trouve avec  x0 sin(α)=x0(Sqrt[1-(cos^2)(α)]) pour la derivée d x/d t=-ω (Sqrt[((Subscript[x, 0])^2)-(x^2)(t)]), et l'integrale devient 
  T=-(1/ω)(∫_(-x0)^x0)(1/(Sqrt[(x0^2)-(x^2)]))dx =(π/ω)
  La probabilité de présence classique pour trouver la particule à l'endroit  x est alors 
 
 ProbClass[x_] := (1/π) / Sqrt[x0^2 - x^2]

Mettons x0 = 2;   tracer cette probabilité de présence entre -x0 et x0.

B) En mécanique quantique :  
L'équation de Schrodinger pour l'oscillateur harmonique s'écrit

-((ℏ^2)/(2μ))(((d^2)ψ)/(d (x^2)))+(1/2)μ (ω^2)(x^2)ψ=E ψ
avec ω=(Sqrt[k/μ]).On peut effectuer le changement de variable suivant :
ξ=(Sqrt[((μω)/ℏ)])x      et    ϵ = (2/(ℏω))E
qui conduit à l'équation suivante :

-(((d^2)ψ)/(d (ξ^2)))+(ξ^2)ψ=ϵ ψ

Si  ξ->∞ le terme en (ξ^2) devient prépondérant et le terme en ϵ devient négligeable. Cela nous permet de dire que l'on peut réécrire ψ de la façon suivante:

ψ(ξ)=ϕ(ξ)(e^(-((ξ^2)/2)))

 Si on remplace ψ(ξ) dans l'équation différentielle précédente on obtient finalement l'équation différentielle suivante pour ϕ(ξ) :
 
(((d^2)ϕ(ξ))/(d (ξ^2)))-2ξ ((d ϕ(ξ))/(d ξ))+(ϵ-1) ϕ(ξ)=0

Résoudre cette derniere équation (par calcul formel)

Vérifiez dans l'aide les fonctions obtenus. Que pouvez-vous en déduire sur le premier terme de la fonction HermiteH ? Sur le terme C[2] ?

Donner l'expression de la fonction d'onde ψ(ξ) complète en fonction de n. (Définition d'une fonction Ψ(ξ,n) pour désigner (Subscript[Ψ, n])(ξ) )

Calculez la norme de ces fonctions ( (Sqrt[(∫_(-∞)^(+∞))(SuperStar[ψ])(ξ)ψ(ξ)dξ])    ) en fonction de n.

Affichez les premières 5 fonctions corrigées de leur coefficient de normation sous leur forme la plus simple. Puis, pour chacune d'entre elles, tracez la fonction et son carré (probabilité de présence) sur  l'intervalle [-6 ,6]

Tracez la probabilité de présence pour n = 120 et comparez au résultat classique. Mettez (Subscript[x, 0])=(Sqrt[2n+1]).

Le premier argument de HermiteH doit être un entier, ce qui fixe (ϵ - 1)/2 =  n avec n = 0,1, ... .  De plus, ψ(ξ) ne doit pas diverger quand ξ->∞ ;  or la fonction Hypergeometric1F1 conduit à une divergence, donc  le deuxième terme doit disparaitre : C[2] = 0