Algebraische und Symbolische Berechnungen mit Mathematica

Copyright

Copyright 1994,  Claudia Funke und Markus Herold
TU-Berlin, FB 13, Fachgebiet Ökonometrie und Statistik
Dieses Notebook darf ausschließlich als Unterrichtsmaterial und für private Zwecke verwendet und nicht ohne Zustimmung der Autoren verändert werden.

Algebraische Berechnungen

Neben Funktionen zur numerischen Berechnung stellt Mathematica eine 
Vielzahl von Befehlen zur Transformation von algebraischen Termen zur 
Verfügung. Die Funktion

Expand[ Ausdruck ]

multipliziert Klammern aus.

Expand[(x + 2y + z)^3]

Die Funktion

Factor[ Ausdruck ]

zerlegt ein Polynom in Faktoren.

Factor[%]

Factor[6x^3 + 35 x^2 y + 58 x y^2 + 21 y^3]

Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen

Die Funktion

NRoots[ lhs == rhs, var ]

berechnet für Gleichungen oder Gleichungssyteme numerische Näherungslösungen. Das Symbol   ||   bezeichnet die logische Oder-Funktion.

NRoots[x^3 - 3 x^2 - 17 x + 51 == 0, x]

Mathematica kann aber für Polynome bis 4. Grades mit der Funktion

Solve[ LinkeGleichungsseite = RechteGleichungsseite, var ]

ebenso die exakten Lösungen bestimmen:

Solve[x^3 - 3 x^2 - 17 x + 51 == 0, x]

Die Lösung von Gleichungssystemen erfolgt analog.

Solve[{x y + 5 x + 6 y == 7, x^2 + 5 x + 7 y == 8},
      {x, y}]

ColumnForm[%]

Vereinfachung von mathematischen Ausdrücken durch Simplify[ ]

Mit Hilfe der Funktion

Simplify[ Ausdruck ]

versucht Mathematica eine Funktion in einer mathematisch möglichst 
"einfachen" Form darzustellen.

Solve[a x^2 + b x + c == 0, x]

Simplify[%]

Integral- und Differentialrechnung

Der Kernel von Mathematica enthält auch Befehle zur Integral- und 
Differentialrechnung, die durch umfangreiche Packages erheblich erweitert wurden.

Zum Integrieren stellt Mathematica die Funktion  Integrate[ ]  zur Verfügung:

Integrate[ Ausdruck, x ]

berechnet das unbestimmte Integral,

Integrate[ Ausdruck, {x, Untergrenze, Obergrenze} ]

berechnet das bestimmte Integral (symbolische Lösung) und

NIntegrate[ Ausdruck, {x, Untergrenze, Obergrenze} ]

berechnet das bestimmte Integral (numerische Approximation).

Integrate[x^5/(x^6 + 1), x]

Integrate[Exp[x], {x, -1, 1}]

N[%]

NIntegrate[Exp[x], {x, -1, 1}]

% - %%

Für das Differenzieren steht die Funktion  D[ ] zur Verfügung.

D[ Ausdruck, x ]

D[4 x^2 + 3 x, x ]

D[x^n, x]

D[x^2 Log[x + a], x]

Grenzwertberechnungen

Mit der Funktion  Limit[ ]  können Grenzwertberechnungen 
durchgeführt werden.

Limit[ Ausdruck, x -> x0, Richtung -1|1 ]

Limit[Sin[x]/x, x -> 0]

Limit[1/x, x -> Infinity]

Limit[1/x, x -> 0, Direction -> -1]