Numerische Berechnungen

Copyright

Copyright 1994,  Claudia Funke und Markus Herold
TU-Berlin, FB 13, Fachgebiet Ökonometrie und Statistik
Dieses Notebook darf ausschließlich als Unterrichtsmaterial und für private Zwecke verwendet und nicht ohne Zustimmung der Autoren verändert werden.

Arithmetische Operationen

+ , - , *  ,  /  , ^ , !

34 + 23

132 * 4324

Das Multiplikationszeichen muß nicht explizit geschrieben werden.

132 4324

Die Ergebnisse von Berechnungen mit Integer-Zahlen werden immer exakt ausgegeben.

93^56

300! + 1

Umfangreiche Ausgaben können durch    //Short   verkürzt werden.

300! + 1 //Short

Rationale und Irrationale Zahlen

Rationale Zahlen werden in Mathematica auch als solche dargestellt.

2/4 + 24/144

Ein nicht als rationale Zahl darstellbares Ergebnis einer Berechnung wird 
in seiner Funktionsform dargestellt.

Sqrt[21]

Sqrt[21.0]

Mit der Funktion   N[ ]   erfolgt die Umwandlung des Ergebnisses in eine irrationale Darstellung.

N[%]

Die Voreinstellung für die Anzahl der Nachkommastellen ist 6; dies kann jedoch direkt mit dem Aufruf von N[ ] geändert werden.

2 + 2/7; N[%, 30]

Eine irrrationale Zahl in einem Ausdruck verursacht die Berechnung eines irrationalen Ergebnisses.

2/4 + 2.4/144

Dies gilt jedoch nicht für Konstanten.

.3/2 + Pi

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen werden als Element abgespeichert.

(3 +  4I)/(2 + 5I)

Den Realteil und den Imaginärteil einer komplexen Zahl erhält man mit 
den Funktionen Re[ ]    und    Im[ ].

Re[3 + 4I]

Im[3 + 4I]

Numerische Genauigkeit

Mathematica kann numerische Ergebnisse beliebig genau berechnen.

Sqrt[17]

N[Sqrt[17], 10]

Pi

N[Pi, 50]

N[Pi, 300]

Zufallszahlen

Mit der Funktion   Random[ ]    erhält man gleichverteilte Zufallszahlen.

Random[]

Die Funktion    Random[ ]   hat mehrere optionale Parameter, damit die Zufallszahlen genauer charakterisiert werden können.

Random[Integer]

Random[Integer, {0, 100}]

Dem Zufallsgenerator kann auch einer fester Startwert vorgegeben werden. In Kombination mit der Funktion   Random[ ]   ergeben sich beim wiederholten Aufruf so immer die gleichen Zufallszahlen.

SeedRandom[8792]; Random[Integer, {0, 100}]

Unter Verwendung der Packages    ContinuousDistributions.m   und    
DiscreteDistributions.m  lassen mit Random[ ] Zufallszahlen mit einer 
vorgebenen Verteilung erzeugen.

<<Statisti`Continuo`

Random[NormalDistribution[0,1]]

Mehrere Zufallszahlen werden in einer Liste abgelegt:

{Random[], Random[]}

Iteratoren

Iteratoren (Zähler) legen fest, wie oft eine Berechnung durchgeführt werden soll. Viele Mathematica - Funktionen benutzen Iteratoren, wie z.B.   Do[ ],    Product[ ],    Sum[ ]  und   Table[ ]. Diese werden auf sogenannte expressions (Ausdrücke) angewandt:

Do[ Ausdruck, {max} ]

Der Ausdruck wird max-mal ausgeführt.

Do[Print[x + x^2 + x^3], {x, 4}]

Product[ Ausdruck, {i, imax} ]

multipliziert den Ausdruck mit i, wobei i bis imax läuft.

Product[x, {i, 4}]

Product[2, {i, 4}]

Sum[ Ausdruck, {i, imin, imax} ]

bildet die Summe des Ausdrucks über i von imin bis imax.

Sum[i, {i, 1, 100}]

Sum[i x^i, {i, 1, 6}]

Sum[i x^i, {i, 1, 6, 2}]

Table[ Ausdruck, {i, imin, imax, istep} ]

generiert eine Liste von Ausdrücken, wobei i von imin bis imax mit einer Schrittweite von istep läuft.

Table[n^2, {n, 1, 8}]

Zum Vergleich ein Beispiel, bei dem sich der Iterator  - nicht -  auf
die Variable im Ausdruck bezieht:

Table[n^2, {x, 1, 8}]