Algebraische und Symbolische Berechnungen mit Mathematica

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Copyright 1994,  Claudia Funke und Markus Herold
TU-Berlin, FB 13, Fachgebiet Ökonometrie und Statistik
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Algebraische Berechnungen

Neben Funktionen zur numerischen Berechnung stellt Mathematica eine 
Vielzahl von Befehlen zur Transformation von algebraischen Termen zur 
Verfügung. Die Funktion

multipliziert Klammern aus.

Expand[(x + 2y + z)^3]

Die Funktion

zerlegt ein Polynom in Faktoren.

Factor[%]

Factor[6x^3 + 35 x^2 y + 58 x y^2 + 21 y^3]

Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen

Die Funktion

berechnet für Gleichungen oder Gleichungssyteme numerische Näherungslösungen. Das Symbol   ||   bezeichnet die logische Oder-Funktion.

NRoots[x^3 - 3 x^2 - 17 x + 51 == 0, x]

Mathematica kann aber für Polynome bis 4. Grades mit der Funktion

ebenso die exakten Lösungen bestimmen:

Solve[x^3 - 3 x^2 - 17 x + 51 == 0, x]

Die Lösung von Gleichungssystemen erfolgt analog.

Solve[{x y + 5 x + 6 y == 7, x^2 + 5 x + 7 y == 8},
      {x, y}]

ColumnForm[%]

Vereinfachung von mathematischen Ausdrücken durch Simplify[ ]

Mit Hilfe der Funktion

versucht Mathematica eine Funktion in einer mathematisch möglichst 
"einfachen" Form darzustellen.

Solve[a x^2 + b x + c == 0, x]

Simplify[%]

Integral- und Differentialrechnung

Der Kernel von Mathematica enthält auch Befehle zur Integral- und 
Differentialrechnung, die durch umfangreiche Packages erheblich erweitert wurden.

Zum Integrieren stellt Mathematica die Funktion  Integrate[ ]  zur Verfügung:

berechnet das unbestimmte Integral,

berechnet das bestimmte Integral (symbolische Lösung) und

berechnet das bestimmte Integral (numerische Approximation).

Integrate[x^5/(x^6 + 1), x]

Integrate[Exp[x], {x, -1, 1}]

N[%]

NIntegrate[Exp[x], {x, -1, 1}]

% - %%

Für das Differenzieren steht die Funktion  D[ ] zur Verfügung.

D[4 x^2 + 3 x, x ]

D[x^n, x]

D[x^2 Log[x + a], x]

Grenzwertberechnungen

Mit der Funktion  Limit[ ]  können Grenzwertberechnungen 
durchgeführt werden.

Limit[Sin[x]/x, x -> 0]

Limit[1/x, x -> Infinity]

Limit[1/x, x -> 0, Direction -> -1]