(*********************************************************************** Mathematica-Compatible Notebook This notebook can be used on any computer system with Mathematica 3.0, MathReader 3.0, or any compatible application. The data for the notebook starts with the line of stars above. To get the notebook into a Mathematica-compatible application, do one of the following: * Save the data starting with the line of stars above into a file with a name ending in .nb, then open the file inside the application; * Copy the data starting with the line of stars above to the clipboard, then use the Paste menu command inside the application. Data for notebooks contains only printable 7-bit ASCII and can be sent directly in email or through ftp in text mode. Newlines can be CR, LF or CRLF (Unix, Macintosh or MS-DOS style). 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The top graph is on a large scale, and has a familiar smooth shape. \ Each gray dot, however, represents a region in which bugs can occur, and an \ incorrect result can be generated.\n\nThe middle graph shows part of one of \ these dots, magnified by a factor of five billion. The correct result here is \ a smooth curve. On the Pentium, however, the sharp dip shown in the picture \ occurs.\n\nThe bottom graph shows what happens if one magnifies by another \ factor of 50,000. Each individual dot in this graph corresponds to a \ machine-precision number with a distinct digit sequence. At this level, the \ fact that each digit sequence is of limited length makes it inevitable that \ discrete jumps will occur. These jumps are what ultimately lead to roundoff \ error in numerical computation, but they are small compared to the glitches \ associated with the Pentium bug.\n\nThe various dips caused by the Pentium \ bug vary greatly in magnitude; there are dips both much larger and much \ smaller than the one shown here.", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData["Introduction"], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " is widely used as a standard for mathematical computation, and we take \ great pride in ensuring that it does its computations as reliably and \ accurately as possible. However, ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " must run on top of existing hardware and operating systems, over which we \ have almost no control.\n\nAnd in fact, in porting ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " to nearly a hundred computing environments over the past several years it \ has been our experience that particularly when they are new almost every kind \ of processor or operating system has bugs which affect the running of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ ".\n\nThe bug in the Pentium processor therefore comes as no surprise, but \ it has received so much attention that we thought people might find it useful \ to know our thoughts on it.\n\nIn the huge battery of tests that we routinely \ run on every version of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ ", we have not found a single \"natural occurrence\" of the Pentium FDIV \ bug. Indeed, as we describe below, our analysis suggests that the Pentium's \ bug will occur particularly rarely in the kinds of technical computation for \ which ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" is primarily used.\n\nNot a single ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " user has reported encountering the Pentium bug in the course of their \ actual work. Indeed the only relevant technical support calls that we have \ received have been from users asking why ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " does not fail on the particular examples of floating point division \ described on the net and in newspapers. (The answer is that ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " often does symbolic rearrangement of expressions before evaluating them \ numerically so that it does slightly different hardware operations.)\n\n\ Another important point is that the Pentium bug leads to very small \ fractional errors in results. It is certainly possible to construct \ circumstances where such errors are amplified, but these circumstances will \ also amplify the roundoff errors that are inevitable in computer arithmetic. \ Well-designed numerical algorithms therefore try to avoid amplifying any \ errors, and as a result will generally not show large effects from the \ Pentium bug.\n\nDespite all this, we have now developed a software workaround \ which avoids the bugs, as described below. ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData[{ StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" Versions Affected by the Bug", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "Executing the following command will determine whether your version of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" is affected by the Pentium bug:", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[" 3221224323. / 3221224323. == 1"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "If this returns True, then your system is operating correctly. If it \ returns False, then the system is exhibiting the bug.\n\nThe following \ versions of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " can potentially be affected by a buggy Pentium chip:\n\n- Microsoft \ Windows (Enhanced professional version) (also for Windows NT)\n\n- MS-DOS \ (Enhanced professional version)\n\n- OS/2\n\n- NEXTSTEP for Intel\n\nStudent \ versions of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ ", as well as professional Standard versions, do not take advantage of \ hardware floating point instructions, and will therefore never be affected.", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData["What the Bug Could Conceivably Do"], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "Since none of our tests have ever found a naturally occurring \ manifestation of the Pentium bug, it is difficult for us to be sure about its \ possible consequences. However, the executable for the ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " kernel under Microsoft Windows involves a total of 959524 machine \ instructions, of which 568 -- or 1 in about 1700 -- are FDIV instructions \ that might exhibit the bug when run on a Pentium. (The source code of the ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" kernel involves about a third of a million lines of C and ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " language code.)\n\nThese FDIV instructions occur not only in strictly \ numerical code, but also in graphical and symbolic code. In principle, \ therefore, a wide range of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " operations could be affected. However, since errors produced by the \ Pentium bug are fairly small, their effect can probably only be noticed in \ numerical code. In graphics, for example, the proportion of a worst case \ FDIV error is less than one device pixel per pagewidth on a 300 dpi printer, \ so even if the FDIV bug does happen to occur, it will probably have no \ effect. In exact symbolic code, FDIV is typically used only in internal \ heuristic estimates, and so slight errors in its output should not cause any \ exact symbolic results returned by ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" to be incorrect.", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData["Our Workaround"], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "The basic idea in working around the Pentium's bug is to insert software \ tests around every use of FDIV and other buggy Pentium instructions. The \ tests for example quickly check whether the result of a division has the \ potential of being wrong. If such a test fails, then a modified division \ computation must be done: for example one obtained by multiplying both \ numerator and denominator by 15/16, which guarantees that the the new \ division computation will be done correctly.\n\nThe primary problem in \ implementing a workaround is successfully to modify every single FDIV \ instruction.\n\nThe way the software engineering of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " is done, the underlying source code for the system is written in an \ extension of C (as well as in the ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " language itself). This extension of C supports operator overloading, so \ it was quite straightforward for us to compile ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " with every (double)/(double) computation and so on replaced by an \ appropriate macro.\n\nHowever, this approach does not actually fix all \ occurrences of FDIV. The problem is that out of the 568 occurrences of FDIV \ in the Windows ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " kernel executable, only 558 come from our C source -- the remainder are \ imported from standard runtime libraries.\n\nTo get a complete fix for the \ Pentium bug, therefore, one must operate not at the source code level, but \ instead at the level of machine code.\n\nA machine code fix is also a more \ general one: it can potentially apply to any program, or at least any program \ with a certain format of executable. As a result, the work that we are doing \ to make a fix for ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " may turn out to be applicable to a wide range of other programs.\n\nThe \ following is the strategy that we are adopting. First, we scan the ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " executable to find where each FDIV instruction is. The main difficulty \ encountered here is that Pentium instructions are not of fixed length, so one \ needs an explicit table of possible opcodes and modifiers to be able to do \ disassembly.\n\nHaving found each FDIV instruction, the ultimate goal is to \ replace it with a sequence of other instructions. However, this cannot be \ done directly because the sequence of instructions would be a different \ length than the original FDIV instruction.\n\nSo what we do instead is to \ replace the byte corresponding to the FDIV opcode by a byte corresponding to \ an illegal instruction. The point of doing this slightly strange thing is \ that when the processor encounters the illegal instruction, it generates an \ exception.\n\nWe can then install an exception handler which executes the \ code we want whenever the exception is generated. The exception handler must \ emulate the FDIV instruction, but with extra tests. After the handler has \ done its job, it modifies the program counter so as to resume execution on \ the byte that follows the FDIV instruction.\n\nThere are many tricky details \ in implementing this approach. Among them is that there are really 8 \ different kinds of FDIV instructions, most with several register and data \ access modes, each of which must be handled in a slightly different way.\n\n\ Another issue is where the exception handlers should be installed. If one \ does not know the structure of the program one is working with, then one \ needs to use code akin to a virus to install such handlers. But in working \ with a specific program such as ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ ", definite places are known where the handlers can be installed.\n\nThe \ result of all this is that we have managed to produce a patching program that \ will produce a copy of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " that works around the Pentium bug. The patching program and instructions \ on its use are given in MathSource item 0207-335.", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData["Phenomenology of the Bug"], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "Double precision floating point numbers on the Pentium are 64 binary bits \ long, storing 52 bits after the leading one of the mantissa.\n\nParticularly \ with its arbitrary-precision arithmetic capabilities, ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " is set up to shield the user from internal details of the representation \ of numbers. However, it is possible to get this representation, and work with \ it. Indeed, a large fraction of the R&D groups around the world who develop \ algorithms for floating-point hardware use ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" in this way.\n\nThe following ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " functions convert to and from bit sequences of the mantissas of \ machine-precision numbers:", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "ToBits[x_] := Part[$NumberBits[N[x]], 3]\n\nFromBits[list_] := \n N[2 \ Fold[(2 #1 + #2)&, 0, list]/2^Length[list], 16]"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "To see a manifestation of the Pentium bug, try the following:"], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "u = FromBits[{1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,\n \ 1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1}]\n\nEvaluate[1/u] u - 1"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "The Pentium bug does not just affect this specific number; as shown in \ Picture #1 above, it also affects all other numbers in the range \ {1.499999966503765, 1.499999966561496}, that is, numbers with bit sequences \ between {1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,\ 0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, and \ {1,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,\ 0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1}."], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "In each case, the value of the reciprocal obtained is wrong starting at the \ 27th bit.\n\nIn general, the Pentium bug affects only numbers whose bit \ sequences begin with {1,0,0,0,1}, {1,0,1,0,0}, {1,0,1,1,1}, {1,1,0,1,0} and \ {1,1,1,0,1}, and are then followed by many consecutive ones.\n\nThere is no \ simple characterization of what bit patterns yield errors. However, it \ appears that errors always occur in contiguous blocks, and not, for example \ on fractal-like sets.\n\nTypically the blocks seem to come in clusters. \ Within each block the error is at a fixed bit position; the bit position \ varies, however, from one block to another."], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData[{ StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[" Analysis of the Bug", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox["The following ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " program simulates exactly the algorithm used by the Pentium, bit by bit. \ The lookup table for the algorithm is stored in the array q, generated by:", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "q = Table[Which[\n 64 > n >= 2/3 (d + 1), 2,\n 64 > n >= 1/6 \ (d + 1), 1,\n 64 <= n <= 126 - 2/3 (d + 1), -2,\n \t64 <= n <= \ 126 - 1/6 (d + 1), -1,\n True, 0], {n, 0, 127}, {d, 16, 31}] ;"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData["The buggy values in the table are given by:"], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "q[[24,2]] = q[[28,5]] = q[[32,8]] = q[[36,11]] = q[[40, 14]] = 0 ;"], "Input",\ AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "The reason that the Pentium bug is so rare is that these particular entries \ in the lookup table are only very rarely accessed.\n\nNext we define some \ simple operations to handle numbers represented as a list of bits:"], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "LeftShift[{_, bits__}] := {bits, 0}\n\nAddOne[{bits__, n_}] := {bits, n+1}\n\ \nCarrySave[bits_] := Mod[bits, 2] + LeftShift[Quotient[bits, 2]]\n\n\ BitTimes[bits_List, 0] := 0 bits\nBitTimes[bits_List, 1] := bits\n\ BitTimes[bits_List, 2] := LeftShift[bits]\nBitTimes[bits_List, -1] := \ AddOne[1 - bits]\nBitTimes[bits_List, -2] := AddOne[1 - LeftShift[bits]]"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "The idea of so-called carry-save representation, which is used by this \ algorithm, is that by allowing digits of the binary number to be 0, 1, or 2 \ instead of just 0 or 1, one can avoid having to do arbitrary-length carries.\n\ \nThe CarrySave function essentially performs just one step of carrying.\n\n\ The following function actually performs the long division, using the table \ to look up the correct digits for the quotient. (The possible digits -2, -1, \ 0, 1, and 2 are used to generate a base 4 quotient.)"], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "BitFDIV[num_List, den_List, steps_Integer:34] :=\n\tModule[{n, d, a}, n = \ Join[{0,0,0}, num]; d = Join[{0,0,0}, den];\n\tFixedPoint[CarrySave, Flatten[\ \n Table[a = q[[1 + Mod[Take[n, 7] . (2^Range[6,0,-1]), 128],\n\t\t\ \t1 + Take[d, {5, 8}] . {8,4,2,1}]];\n\t\tn = LeftShift[LeftShift[CarrySave[n \ + BitTimes[d, -a]]]];\n\t\t{a, 0}, {steps}]]]] /; Length[num] == \ Length[den]"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "If a bad table entry is fetched, it is never possible to recover. Starting \ at whatever bit corresponds to the bad table entry, the answer will be \ wrong."], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "Finally, this function lets you divide two numbers as a buggy Pentium \ would:"], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "PentiumDivide[n_, d_] := FromBits[BitFDIV[ToBits[n], ToBits[d]]] *\n\t2 ^ \ (Last[RealDigits[N[n], 2]] - Last[RealDigits[N[d], 2]])"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData["So for example you can try"], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData["PentiumDivide[1, 3221224323]"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "to see what a buggy Pentium would give for that division. Since this is a \ simulation, you can try this with any version of ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ "; you do not need an actual buggy Pentium chip.\n\nFor example, try", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData["\tPentiumDivide[5244795, 3932159] * 3932159"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "and you will see that the answer differs from 5244795 by quite a bit.\n\n\ However, if you try several numbers at random, you will see that the division \ is almost always correct."], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "For those who prefer a mathematical expression of the algorithm, the \ following is a ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " program which mathematically implements the kind of division algorithm \ used in the Pentium processor. This algorithm is not too different from \ traditional long division, but each successive digit in the result is \ \"guessed\" by checking the lookup table based on the first few bits of each \ number.", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "FDIV[x_Real, y_Real] :=\n Module[{xm, xe, ym, ye, zm, strip, q},\n \ {xm, xe} = MantissaExponent[x, 2];\n {ym, ye} = MantissaExponent[y, \ 2];\n xm *= 2; xe--;\n ym *= 2; ye--;\n If[Abs[xm] < ym, \ xm *= 2; xe--];\n strip = q[[Floor[(ym-1)*16]+1]];\n zm = \ Table[q = Sign[xm] strip[[Floor[8 Abs[xm]]+1]];\n xm = 4(xm \ - q ym);\n q, {27}];\n N[Fold[(4 #1 + #2)&, 0, zm] \ 2^(xe-ye-52)]\n ]"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "A correct lookup table for this algorithm is given by:"], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "q = Table[Min[2, Round[(n/8)/(1+d/16)]], {d, 0, 15},\n \ {n, 0, Ceiling[64/3 (1+(d+1)/16)]}]"], "Input", AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "The buggy values are as given for the bitwise algorithm above.\n\nIn a \ particular division computation, the table entries accessed all come from the \ same strip of qtab, since the denominator remains fixed during the division. \ Only those denominators that correspond to the five strips with table errors \ can therefore lead to incorrect results."], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData["How Common Is the Bug?"], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[ "There are a total of 2^52 or nearly five million billion distinct machine \ numbers between 1 and 2 available with the Pentium architecture.\n\nIf all \ possible machine numbers between 1 and 2 occurred in practice with equal \ probability, then the frequency of the Pentium bug would be around once in \ nine billion floating point divisions -- low enough to be of little real \ concern. This is the argument initially made by Intel for why the Pentium \ bug should be of little concern.\n\nBut whether this simple frequency \ estimate is correct depends on whether all machine numbers really do occur \ with equal probability.\n\nAnd if it so happened that machine numbers which \ produced the Pentium bug were more common in practical calculations, then the \ Pentium bug could potentially be much more significant.\n\nTraditional \ mathematics is heavily invested in the idea of a continuum of real numbers, \ and tends to ignore issues about the representation of numbers in terms of \ digits. Indeed, for the purposes of traditional mathematics, little \ distinction is made between a number like 0.5 with a very simple digit \ sequence, and a number like 0.547173189971261908462471 with a seemingly \ random digit sequence.\n\nFrom this point of view, it seems almost \ inconceivable that certain patterns of digit sequences would occur more often \ than others, and as a result, it seems reasonable to conclude that the simple \ assumption of equal probabilities should be correct, and therefore that the \ Pentium bug should be of little significance.\n\nThere is however a possible \ flaw in this argument, and the flaw has to do with how numbers that appear in \ calculations are generated.\n\nThe point is that it is fairly unusual for a \ user to type in, say, a 15-digit number with a seemingly random digit \ sequence. Much more common is to start off with \"simpler\" numbers, and then \ to generate other numbers through calculations. The issue then is what kinds \ of digit sequences typically get generated by calculations.\n\nA crucial \ observation is that rational numbers obtained by division always have either \ terminating or periodic digit sequences.\n\nThus, for example 1/3 has digit \ sequence 0.33333333... in base 10 and 0.0101010101... in base 2.\n\nNumbers \ that have terminating digit sequences in one base can have repetitive digit \ sequences in another base. Thus, for example 0.8 in base 10 is \ 0.110011001100... in base 2.\n\nIf one starts with \"simple\" numbers in base \ 10, and then does elementary arithmetic operations, the numbers that one ends \ up with will thus tend to have periodic digit sequences -- which are \ certainly not completely random.\n\nAs a result, it might be that numbers \ obtained in this way would be more likely to produce the Pentium bug, as we \ shall discuss below.\n\nThe situation is rather different, however, as soon \ as one goes beyond elementary arithmetic operations. The key point is that in \ evaluating Sqrt[2], for example, one immediately gets a number whose digit \ sequence seems for practical purposes random.\n\nIndeed, other than rational \ numbers, no numbers that arise from short mathematical descriptions (such as \ square roots, logarithms, trig functions, etc.) seem to yield digit sequences \ which deviate in any significant way from complete randomness.\n\nIn a \ typical scientific computation, therefore, one may start with \"simple\" \ numbers that have simple digit sequences, but one will quickly generate \ numbers that have seemingly random digit sequences. And once one has such \ numbers, the chance of running into the Pentium bug can be estimated by the \ probability arguments used by Intel, and is very small.\n\nAs a result, it is \ probably fair to conclude that the Pentium bug is extremely unlikely to occur \ in scientific computations.\n\nBut what about computations that involve only \ elementary arithmetic operations?\n\nEvaluating 1/3221224323.0 will exhibit \ the Pentium bug. But in specifying this computation, we have to give \ explicitly all 10 digits in the number that appears in the denominator.\n\nIs \ there however some computation that involves simpler numbers and fewer \ keystrokes that produces the Pentium bug? We have searched for expressions \ with smaller numbers of keystrokes that yield the bug, but so far we have \ failed to find any."], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData["Relations to Other Studies and Statements"], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "The original Intel study estimated probabilities on the assumption that \ all digit sequences would occur equally often. We believe that for \ scientific computations, the digit sequences that occur will tend to be quite \ random, and therefore are well modelled by an assumption of equal \ probabilities.\n\nThe IBM study pointed out that numbers which are generated \ in simple decimal computations yield leading digits which are more likely to \ correspond to the leading digits of numbers which produce bugs. However, the \ study failed to show how the rather intricate patterns of digits beyond the \ first 5 digits that yield the bug could be produced by simple computations. \ We have not seen any evidence that it is possible to generate them with \ simple computations.\n\nVaughan Pratt's postings on this topic point (through \ empirical testing) to \"bruised\" integers as being particularly likely \ culprits for exposing the FDIV bug, where a bruised integer is one that has \ had a very small amount (for example a random value of less than say one \ millionth) subtracted from it. He points out that these numbers may occur \ with abnormally high frequencies for two reasons: The first is that you can \ get a bruised number by subtracting two numbers such as 10.2 - 3.2, and the \ second is that your calculations may naturally tend to involve such numbers. \ For the former, he points out that even if the Pentium bug does occur for \ numerators and divisors such as these, the relative error will be negligibly \ small in such cases. For the latter, we are conducting further research is \ to see whether results like his apply to ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " calculations. (Preliminary tests have failed to find any examples, but \ we have not done enough testing to come to a conclusive result.) The main \ point here is that ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " generally performs division by multiplying by the reciprocal of the \ number. This avoids all instances mentioned by Pratt as being unlucky for \ dividing, since his numerators always have an odd factor of at least 3, \ whereas a reciprocal always has numerator 1. But if results similar to his \ turn out to apply to taking reciprocals, then this could present a problem \ for ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " users doing calculations involving sequences that slowly diverge from or \ approach exact integer or rational values, if having a slight error at some \ point would throw the calculation off. (When deciding whether an error will \ affect your algorithm, it is useful to know that Pratt's results seem to \ indicate that the Pentium's relative error will not be more than about two \ orders of magnitude greater than the amount of difference from the nearby \ integer, should the Pentium bug manifest itself.) If any users are doing \ calculations like this on a Pentium, they should keep an eye out for \ manifestations of this bug, and if they see any instances of it they should \ send simple code demonstrating the problem to research@wri.com.\n\nAs far as \ fixes for the bug are concerned, the most widely quoted seems to be a \ fragment of C code (and its derivatives) posted by MathWorks. The main \ problem is that just patching C source code does not fix occurrences of FDIV \ in runtime libraries. To fix these requires the kind of binary patch \ discussed above.", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]], Cell[CellGroupData[{Cell[TextData["About This Document"], "Section", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData[{ StyleBox[ "This document was produced by part of the numerical analysis group at \ Wolfram Research. To give feedback, or to get more information about its \ contents, contact research@wri.com. For more information on ", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], StyleBox["Mathematica", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True, FontSlant->"Italic"], StyleBox[ " and on Wolfram Research products and services, contact info@wri.com.\n\n\ This document, together with illustrations, is accessible on the Web at \ http://www.wri.com/.", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True] }], "Text", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True], Cell[TextData["(c) 1994 Wolfram Research, Inc."], "SmallText", Evaluatable->False, AspectRatioFixed->True]}, Open]]}, Open]] }, FrontEndVersion->"Macintosh 3.0", ScreenRectangle->{{0, 640}, {0, 460}}, WindowToolbars->{}, CellGrouping->Manual, WindowSize->{520, 365}, WindowMargins->{{28, Automatic}, {Automatic, 31}}, PrivateNotebookOptions->{"ColorPalette"->{RGBColor, -1}}, ShowCellLabel->True, ShowCellTags->False, RenderingOptions->{"ObjectDithering"->True, "RasterDithering"->False}, MacintoshSystemPageSetup->"\<\ AVU/IFiQKFD000000V:^/09R]g0000000OVaH097bCP0AP1Y06`0I@1^0642HZj` 0V:gT0000001nK500TO9>000000000000000009R[[0000000000000000000000 00000000000000000000000000000000\>" ] (*********************************************************************** Cached data follows. If you edit this Notebook file directly, not using Mathematica, you must remove the line containing CacheID at the top of the file. 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