(* Content-type: application/mathematica *) (*** Wolfram Notebook File ***) (* http://www.wolfram.com/nb *) (* CreatedBy='Mathematica 6.0' *) (*CacheID: 234*) (* Internal cache information: NotebookFileLineBreakTest NotebookFileLineBreakTest NotebookDataPosition[ 145, 7] NotebookDataLength[ 187029, 3927] NotebookOptionsPosition[ 181612, 3778] NotebookOutlinePosition[ 182035, 3797] CellTagsIndexPosition[ 181992, 3794] WindowFrame->Normal ContainsDynamic->True *) (* Beginning of Notebook Content *) Notebook[{ Cell["Variants of the Josephus Problem.", "Title", CellChangeTimes->{{3.423626520865*^9, 3.4236265337349997`*^9}}], Cell["\<\ Daisuke Minematsu (Osaka University, Osaka Japan), Hiroshi Matsui ( \ Kwanseigakuin High School, Nishinomiya City Japan), Toshiyuki Yamauchi \ (Kwanseigakuin High School), Soh Tatsumi (Kwanseigakuin High School), \ Masakazu Naito (Kwanseigakuin High School) and Takafumi Inoue \ (Kwanseigakuin High School). \ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.4236266220699997`*^9, 3.423626751523*^9}, { 3.423626794201*^9, 3.4236268636070004`*^9}, {3.4236385989639997`*^9, 3.4236386303*^9}}, FontSize->14], Cell[CellGroupData[{ Cell["Initialization Code", "Text", InitializationCell->True, CellChangeTimes->{{3.4233103945968*^9, 3.4233104120844*^9}}], Cell[BoxData[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"joseprocess", "[", RowBox[{"m_", ",", "mm_"}], "]"}], ":=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"t", ",", "p", ",", "q", ",", "u", ",", "v", ",", "w"}], "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"proc1", "=", RowBox[{"{", "}"}]}], ";", RowBox[{"proc2", "=", RowBox[{"{", "}"}]}], ";", RowBox[{"w", "=", "mm"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"t", "=", RowBox[{"Range", "[", "m", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"p", "=", "t"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", "t"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"p", "=", RowBox[{"RotateLeft", "[", RowBox[{"p", ",", "w"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"u", "=", RowBox[{"First", "[", "p", "]"}]}], ";", RowBox[{"proc1", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"proc1", ",", "u"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Rest", "[", "p", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Drop", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{ RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", "p", "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Break", "[", "]"}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"RotateRight", "[", RowBox[{"q", ",", "w"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"v", "=", RowBox[{"Last", "[", "q", "]"}]}], ";", RowBox[{"proc2", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"proc2", ",", "v"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Drop", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{"-", "1"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Drop", "[", RowBox[{"p", ",", RowBox[{ RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"p", ",", "v"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", "q", "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Break", "[", "]"}], ","}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", RowBox[{"Ceiling", "[", RowBox[{"m", "/", "2"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ";", RowBox[{"{", RowBox[{"proc1", ",", "proc2"}], "}"}]}]}], "]"}]}], ";"}], "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"pic2", "[", RowBox[{"num_", ",", "poin1_List", ",", "poin2_List"}], "]"}], ":=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"ar", "=", "4"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"dai", "=", "1.5"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"haba", "=", "0.15"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"points", "=", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{"m", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"m", ",", "1", ",", "num"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"points1", "=", "poin1"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"points2", "=", "poin2"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"compoint", "=", RowBox[{"Complement", "[", RowBox[{"points", ",", RowBox[{"Union", "[", RowBox[{"points1", ",", "points2"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"pt", "=", RowBox[{"Length", "[", "compoint", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"survivepoints", "=", "compoint"}], ";", RowBox[{"Graphics", "[", RowBox[{ RowBox[{"Evaluate", "[", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "1", "]"}], ",", RowBox[{"Rectangle", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"4", "dai"}], "-", "haba", "-", "4"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"dai", "/", "2"}], "-", "haba", "-", "2.5"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"4", "dai"}], "+", "haba", "-", "4"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"dai", "/", "2"}], "+", "haba", "-", "2.5"}]}], "}"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "1", "]"}], ",", RowBox[{"Rectangle", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"4", "dai"}], "-", "haba", "-", "8"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"dai", "/", "2"}], "-", "haba", "+", "0.8"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"4", "dai"}], "+", "haba", "-", "8"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"dai", "/", "2"}], "+", "haba", "+", "0.8"}]}], "}"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "0.8", "]"}], ",", RowBox[{"Disk", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"points1", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Sin", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"points1", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}]}], "}"}], ",", "haba"}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", RowBox[{"Length", "[", "points1", "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "0.8", "]"}], ",", RowBox[{"Rectangle", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"points2", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}], "-", "haba"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Sin", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"points2", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}], "-", "haba"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"points2", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}], "+", "haba"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Sin", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"points2", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}], "+", "haba"}]}], "}"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", RowBox[{"Length", "[", "points2", "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "0.3", "]"}], ",", RowBox[{"Text", "[", RowBox[{ RowBox[{"points", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"points", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Sin", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"points", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}]}], "}"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", RowBox[{"Length", "[", "points", "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"pt", "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"RGBColor", "[", RowBox[{"0", ",", "1", ",", "1"}], "]"}], ",", RowBox[{"GrayLevel", "[", "0.3", "]"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"Text", "[", RowBox[{ RowBox[{"survivepoints", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"survivepoints", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Sin", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"survivepoints", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}]}], "}"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"pt", "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"RGBColor", "[", RowBox[{"0", ",", "1", ",", "1"}], "]"}], ",", RowBox[{"GrayLevel", "[", "1", "]"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"Circle", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"survivepoints", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"dai", "*", RowBox[{"Sin", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"ar", "+", RowBox[{"survivepoints", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], ")"}], "*", "Pi", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"2", "/", "num"}], ")"}]}], "]"}]}]}], "}"}], ",", "haba"}], "]"}]}], "}"}]}], "}"}], "]"}], ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{"350", ",", "350"}], "}"}]}], ",", RowBox[{"AspectRatio", "\[Rule]", "Automatic"}]}], "]"}]}]}], "]"}]}], ";"}], "\n", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"proc", "[", "n2_", "]"}], ":=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", "pp", "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "0"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"1", ",", "0"}], "}"}]}], "}"}]}], ";", RowBox[{"k", "=", "1"}], ";", RowBox[{"h", "=", "0"}], ";", RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"h", "=", RowBox[{"h", "+", "1"}]}], ";", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"pp", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"k", ",", "h"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", RowBox[{"k", "=", RowBox[{"k", "+", "1"}]}], ";", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"pp", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"k", ",", "h"}], "}"}]}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"ss", ",", RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"n2", "/", "2"}], "-", "1"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ";", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"OddQ", "[", "n2", "]"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"h", "=", RowBox[{"h", "+", "1"}]}], ";", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"pp", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"k", ",", "h"}], "}"}]}], "]"}]}]}], ","}], "]"}], ";", "pp"}]}], "]"}]}], ";"}], "\n", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"d1", "[", RowBox[{"k_", ",", "mm_"}], "]"}], ":=", RowBox[{ RowBox[{"joseprocess", "[", RowBox[{"k", ",", "mm"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], ";", RowBox[{ RowBox[{"d2", "[", RowBox[{"k_", ",", "mm_"}], "]"}], ":=", RowBox[{ RowBox[{"joseprocess", "[", RowBox[{"k", ",", "mm"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "2", "]"}], "]"}]}], ";"}], "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{"gg", "=", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "3", ",", "4", ",", "3", ",", "6", ",", "1", ",", "3", ",", "9", ",", "1", ",", "11", ",", "5", ",", "11", ",", "7", ",", "9", ",", "14", ",", "5", ",", "12", ",", "7", ",", "12", ",", "11", ",", "14", ",", "9", ",", "22", ",", "5", ",", "20", ",", "7", ",", "28", ",", "3", ",", "30", ",", "1", ",", "11", ",", "25", ",", "9", ",", "27", ",", "5", ",", "35", ",", "7", ",", "33", ",", "3", ",", "41", ",", "1", ",", "43", ",", "5", ",", "43", ",", "7", ",", "41", ",", "19", ",", "33", ",", "17", ",", "35", ",", "13", ",", "43", ",", "15", ",", "41", ",", "27", ",", "33", ",", "25", ",", "35", ",", "29", ",", "35", ",", "31", ",", "33", ",", "54", ",", "13", ",", "52", ",", "15", ",", "52", ",", "19", ",", "54", ",", "17", ",", "46", ",", "29", ",", "44", ",", "31", ",", "52", ",", "27", ",", "54", ",", "25", ",", "46", ",", "37", ",", "44", ",", "39", ",", "44", ",", "43", ",", "46", ",", "41", ",", "54", ",", "37", ",", "52", ",", "39", ",", "60", ",", "35", ",", "62", ",", "33", ",", "86", ",", "13", ",", "84", ",", "15", ",", "84", ",", "19", ",", "86", ",", "17", ",", "78", ",", "29", ",", "76", ",", "31", ",", "84", ",", "27", ",", "86", ",", "25", ",", "110", ",", "5", ",", "108", ",", "7", ",", "108", ",", "11", ",", "110", ",", "9", ",", "118", ",", "5", ",", "116", ",", "7", ",", "124", ",", "3", ",", "126", ",", "1", ",", "43", ",", "89", ",", "41", ",", "91", ",", "37", ",", "99", ",", "39", ",", "97", ",", "35", ",", "105", ",", "33", ",", "107", ",", "37", ",", "107", ",", "39", ",", "105", ",", "19", ",", "129", ",", "17", ",", "131", ",", "13", ",", "139", ",", "15", ",", "137", ",", "27", ",", "129", ",", "25", ",", "131", ",", "29", ",", "131", ",", "31", ",", "129", ",", "11", ",", "153", ",", "9", ",", "155", ",", "5", ",", "163", ",", "7", ",", "161", ",", "3", ",", "169", ",", "1", ",", "171", ",", "5", ",", "171", ",", "7", ",", "169", ",", "19", ",", "161", ",", "17", ",", "163", ",", "13", ",", "171", ",", "15", ",", "169", ",", "27", ",", "161", ",", "25", ",", "163", ",", "29", ",", "163", ",", "31", ",", "161", ",", "75", ",", "121", ",", "73", ",", "123", ",", "69", ",", "131", ",", "71", ",", "129", ",", "67", ",", "137", ",", "65", ",", "139", ",", "69", ",", "139", ",", "71", ",", "137", ",", "51", ",", "161", ",", "49", ",", "163", ",", "45", ",", "171", ",", "47", ",", "169", ",", "59", ",", "161", ",", "57", ",", "163", ",", "61", ",", "163", ",", "63", ",", "161", ",", "107", ",", "121", ",", "105", ",", "123", ",", "101", ",", "131", ",", "103", ",", "129", ",", "99", ",", "137", ",", "97", ",", "139", ",", "101", ",", "139", ",", "103", ",", "137", ",", "115", ",", "129", ",", "113", ",", "131", ",", "109", ",", "139", ",", "111", ",", "137", ",", "123", ",", "129", ",", "121", ",", "131", ",", "125", ",", "131", ",", "127", ",", "129", ",", "214", ",", "45", ",", "212", ",", "47", ",", "212", ",", "51", ",", "214", ",", "49", ",", "206", ",", "61", ",", "204", ",", "63", ",", "212", ",", "59", ",", "214", ",", "57", ",", "206", ",", "69", ",", "204", ",", "71", ",", "204", ",", "75", ",", "206", ",", "73", ",", "214", ",", "69", ",", "212", ",", "71", ",", "220", ",", "67", ",", "222", ",", "65", ",", "182", ",", "109", ",", "180", ",", "111", ",", "180", ",", "115", ",", "182", ",", "113", ",", "174", ",", "125", ",", "172", ",", "127", ",", "180", ",", "123", ",", "182", ",", "121", ",", "206", ",", "101", ",", "204", ",", "103", ",", "204", ",", "107", ",", "206", ",", "105", ",", "214", ",", "101", ",", "212", ",", "103", ",", "220", ",", "99", ",", "222", ",", "97", ",", "182", ",", "141", ",", "180", ",", "143", ",", "180", ",", "147", ",", "182", ",", "145", ",", "174", ",", "157", ",", "172", ",", "159", ",", "180", ",", "155", ",", "182", ",", "153", ",", "174", ",", "165", ",", "172", ",", "167", ",", "172", ",", "171", ",", "174", ",", "169", ",", "182", ",", "165", ",", "180", ",", "167", ",", "188", ",", "163", ",", "190", ",", "161", ",", "214", ",", "141", ",", "212", ",", "143", ",", "212", ",", "147", ",", "214", ",", "145", ",", "206", ",", "157", ",", "204", ",", "159", ",", "212", ",", "155", ",", "214", ",", "153", ",", "238", ",", "133", ",", "236", ",", "135", ",", "236", ",", "139", ",", "238", ",", "137", ",", "246", ",", "133", ",", "244", ",", "135", ",", "252", ",", "131", ",", "254", ",", "129", ",", "342", ",", "45", ",", "340", ",", "47", ",", "340", ",", "51", ",", "342", ",", "49", ",", "334", ",", "61", ",", "332", ",", "63", ",", "340", ",", "59", ",", "342", ",", "57", ",", "334", ",", "69", ",", "332", ",", "71", ",", "332", ",", "75", ",", "334", ",", "73", ",", "342", ",", "69", ",", "340", ",", "71", ",", "348", ",", "67", ",", "350", ",", "65", ",", "310", ",", "109", ",", "308", ",", "111", ",", "308", ",", "115", ",", "310", ",", "113", ",", "302", ",", "125", ",", "300", ",", "127", ",", "308", ",", "123", ",", "310", ",", "121", ",", "334", ",", "101", ",", "332", ",", "103", ",", "332", ",", "107", ",", "334", ",", "105", ",", "342", ",", "101", ",", "340", ",", "103", ",", "348", ",", "99", ",", "350", ",", "97", ",", "438", ",", "13", ",", "436", ",", "15", ",", "436", ",", "19", ",", "438", ",", "17", ",", "430", ",", "29", ",", "428", ",", "31", ",", "436", ",", "27", ",", "438", ",", "25", ",", "430", ",", "37", ",", "428", ",", "39", ",", "428", ",", "43", ",", "430", ",", "41", ",", "438", ",", "37", ",", "436", ",", "39", ",", "444", ",", "35", ",", "446", ",", "33", ",", "470", ",", "13", ",", "468", ",", "15", ",", "468", ",", "19", ",", "470", ",", "17", ",", "462", ",", "29", ",", "460", ",", "31", ",", "468", ",", "27", ",", "470", ",", "25", ",", "494", ",", "5", ",", "492", ",", "7", ",", "492"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "2", ",", "1", ",", "2", ",", "4", ",", "6", ",", "2", ",", "1", ",", "8", ",", "2", ",", "8", ",", "8", ",", "9", ",", "13", ",", "7", ",", "15", ",", "2", ",", "2", ",", "1", ",", "20", ",", "15", ",", "7", ",", "22", ",", "10", ",", "18", ",", "13", ",", "13", ",", "16", ",", "16", ",", "14", ",", "10", ",", "29", ",", "8", ",", "21", ",", "14", ",", "33", ",", "8", ",", "34", ",", "2", ",", "40", ",", "40", ",", "2", ",", "2", ",", "1", ",", "4", ",", "43", ",", "38", ",", "19", ",", "36", ",", "16", ",", "48", ",", "5", ",", "47", ",", "22", ",", "37", ",", "19", ",", "38", ",", "26", ",", "32", ",", "29", ",", "29", ",", "37", ",", "31", ",", "34", ",", "35", ",", "35", ",", "40", ",", "31", ",", "42", ",", "51", ",", "20", ",", "65", ",", "13", ",", "61", ",", "16", ",", "60", ",", "32", ",", "47", ",", "31", ",", "53", ",", "10", ",", "72", ",", "13", ",", "71", ",", "16", ",", "76", ",", "7", ",", "87", ",", "2", ",", "89", ",", "5", ",", "5", ",", "87", ",", "7", ",", "94", ",", "2", ",", "4", ",", "98", ",", "99", ",", "1", ",", "8", ",", "98", ",", "10", ",", "97", ",", "84", ",", "23", ",", "83", ",", "43", ",", "70", ",", "38", ",", "78", ",", "34", ",", "80", ",", "32", ",", "108", ",", "13", ",", "108", ",", "10", ",", "106", ",", "19", ",", "108", ",", "49", ",", "80", ",", "44", ",", "82", ",", "43", ",", "88", ",", "43", ",", "83", ",", "47", ",", "76", ",", "64", ",", "72", ",", "67", ",", "72", ",", "64", ",", "76", ",", "77", ",", "64", ",", "83", ",", "62", ",", "75", ",", "68", ",", "75", ",", "73", ",", "70", ",", "77", ",", "74", ",", "73", ",", "77", ",", "90", ",", "67", ",", "86", ",", "68", ",", "92", ",", "67", ",", "97", ",", "115", ",", "47", ",", "118", ",", "43", ",", "146", ",", "22", ",", "145", ",", "28", ",", "132", ",", "32", ",", "135", ",", "35", ",", "139", ",", "40", ",", "133", ",", "74", ",", "107", ",", "77", ",", "106", ",", "76", ",", "111", ",", "68", ",", "119", ",", "67", ",", "115", ",", "20", ",", "163", ",", "26", ",", "159", ",", "29", ",", "163", ",", "32", ",", "157", ",", "35", ",", "161", ",", "29", ",", "170", ",", "29", ",", "183", ",", "14", ",", "195", ",", "8", ",", "196", ",", "2", ",", "195", ",", "5", ",", "198", ",", "11", ",", "199", ",", "198", ",", "10", ",", "200", ",", "19", ",", "198", ",", "16", ",", "210", ",", "5", ",", "209", ",", "4", ",", "217", ",", "2", ",", "7", ",", "217", ",", "4", ",", "222", ",", "222", ",", "5", ",", "225", ",", "1", ",", "20", ",", "215", ",", "16", ",", "220", ",", "16", ",", "213", ",", "20", ",", "218", ",", "22", ",", "212", ",", "186", ",", "49", ",", "190", ",", "56", ",", "186", ",", "59", ",", "149", ",", "95", ",", "155", ",", "94", ",", "166", ",", "85", ",", "179", ",", "77", ",", "173", ",", "76", ",", "181", ",", "77", ",", "177", ",", "76", ",", "188", ",", "70", ",", "243", ",", "22", ",", "234", ",", "28", ",", "247", ",", "26", ",", "246", ",", "22", ",", "237", ",", "32", ",", "236", ",", "43", ",", "232", ",", "38", ",", "240", ",", "107", ",", "167", ",", "106", ",", "180", ",", "103", ",", "183", ",", "97", ",", "184", ",", "103", ",", "196", ",", "97", ",", "195", ",", "91", ",", "196", ",", "97", ",", "196", ",", "104", ",", "185", ",", "107", ",", "190", ",", "127", ",", "171", ",", "130", ",", "156", ",", "142", ",", "161", ",", "143", ",", "156", ",", "151", ",", "165", ",", "145", ",", "160", ",", "143", ",", "168", ",", "140", ",", "168", ",", "168", ",", "140", ",", "171", ",", "143", ",", "175", ",", "131", ",", "184", ",", "137", ",", "183", ",", "140", ",", "169", ",", "155", ",", "172", ",", "151", ",", "168", ",", "161", ",", "167", ",", "163", ",", "155", ",", "175", ",", "160", ",", "172", ",", "163", ",", "170", ",", "164", ",", "164", ",", "176", ",", "167", ",", "173", ",", "170", ",", "140", ",", "200", ",", "151", ",", "196", ",", "151", ",", "191", ",", "155", ",", "197", ",", "145", ",", "207", ",", "148", ",", "203", ",", "149", ",", "209", ",", "140", ",", "104", ",", "259", ",", "107", ",", "255", ",", "104", ",", "264", ",", "100", ",", "268", ",", "95", ",", "316", ",", "40", ",", "326", ",", "49", ",", "323", ",", "46", ",", "324", ",", "62", ",", "314", ",", "64", ",", "296", ",", "74", ",", "307", ",", "70", ",", "303", ",", "80", ",", "302", ",", "77", ",", "307", ",", "73", ",", "306", ",", "89", ",", "301", ",", "91", ",", "297", ",", "169", ",", "228", ",", "158", ",", "241", ",", "157", ",", "223", ",", "172", ",", "237", ",", "163", ",", "232", ",", "169", ",", "231", ",", "154", ",", "249", ",", "152", ",", "256", ",", "140", ",", "265", ",", "143", ",", "261", ",", "158", ",", "259", ",", "47", ",", "370", ",", "43", ",", "366", ",", "53", ",", "358", ",", "56", ",", "361", ",", "64", ",", "356", ",", "65", ",", "361", ",", "59", ",", "364", ",", "80", ",", "359", ",", "73", ",", "353", ",", "80", ",", "354", ",", "77", ",", "362", ",", "76", ",", "361", ",", "64", ",", "379", ",", "58", ",", "380", ",", "65", ",", "379", ",", "32", ",", "409", ",", "34", ",", "417", ",", "32", ",", "439", ",", "13", ",", "433", ",", "16", ",", "440", ",", "14", ",", "448", ",", "2", ",", "451", ",", "19", ",", "446", ",", "11", ",", "451", ",", "17", ",", "444", ",", "20", ",", "441", ",", "23", ",", "448", ",", "449", ",", "23", ",", "443", ",", "22", ",", "451", ",", "23", ",", "447", ",", "40", ",", "433", ",", "38", ",", "445", ",", "35", ",", "444", ",", "34", ",", "449", ",", "13", ",", "475", ",", "11", ",", "470", ",", "17", ",", "469", ",", "8", ",", "483", ",", "5", ",", "486", ",", "2", ",", "490", ",", "479", ",", "16", ",", "482", ",", "10", ",", "486", ",", "8", ",", "494", ",", "10", ",", "499"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "3", ",", "1", ",", "3", ",", "5", ",", "7", ",", "2", ",", "5", ",", "8", ",", "6", ",", "2", ",", "11", ",", "2", ",", "15", ",", "11", ",", "6", ",", "14", ",", "10", ",", "14", ",", "10", ",", "2", ",", "19", ",", "6", ",", "25", ",", "3", ",", "26", ",", "3", ",", "14", ",", "18", ",", "9", ",", "24", ",", "15", ",", "20", ",", "17", ",", "23", ",", "18", ",", "24", ",", "38", ",", "3", ",", "33", ",", "14", ",", "37", ",", "5", ",", "43", ",", "3", ",", "46", ",", "6", ",", "44", ",", "5", ",", "49", ",", "31", ",", "26", ",", "30", ",", "15", ",", "47", ",", "18", ",", "41", ",", "26", ",", "36", ",", "30", ",", "36", ",", "29", ",", "40", ",", "27", ",", "38", ",", "30", ",", "40", ",", "67", ",", "6", ",", "70", ",", "3", ",", "59", ",", "21", ",", "54", ",", "17", ",", "64", ",", "14", ",", "74", ",", "7", ",", "79", ",", "5", ",", "81", ",", "6", ",", "77", ",", "9", ",", "79", ",", "6", ",", "84", ",", "6", ",", "87", ",", "52", ",", "42", ",", "54", ",", "45", ",", "52", ",", "30", ",", "76", ",", "25", ",", "82", ",", "18", ",", "74", ",", "33", ",", "71", ",", "46", ",", "65", ",", "47", ",", "60", ",", "51", ",", "60", ",", "51", ",", "64", ",", "51", ",", "70", ",", "49", ",", "72", ",", "42", ",", "66", ",", "51", ",", "68", ",", "54", ",", "73", ",", "119", ",", "9", ",", "119", ",", "5", ",", "123", ",", "5", ",", "129", ",", "29", ",", "99", ",", "35", ",", "93", ",", "42", ",", "91", ",", "30", ",", "113", ",", "27", ",", "118", ",", "11", ",", "129", ",", "10", ",", "134", ",", "7", ",", "143", ",", "9", ",", "145", ",", "9", ",", "143", ",", "9", ",", "143", ",", "17", ",", "141", ",", "13", ",", "141", ",", "25", ",", "151", ",", "11", ",", "147", ",", "10", ",", "147", ",", "11", ",", "151", ",", "91", ",", "73", ",", "96", ",", "74", ",", "91", ",", "79", ",", "97", ",", "82", ",", "90", ",", "51", ",", "128", ",", "43", ",", "135", ",", "41", ",", "145", ",", "37", ",", "152", ",", "54", ",", "130", ",", "58", ",", "128", ",", "63", ",", "125", ",", "82", ",", "114", ",", "78", ",", "110", ",", "82", ",", "106", ",", "89", ",", "108", ",", "89", ",", "104", ",", "93", ",", "112", ",", "90", ",", "112", ",", "90", ",", "125", ",", "82", ",", "122", ",", "86", ",", "126", ",", "83", ",", "138", ",", "94", ",", "117", ",", "94", ",", "126", ",", "90", ",", "120", ",", "87", ",", "123", ",", "91", ",", "23", ",", "211", ",", "15", ",", "209", ",", "17", ",", "210", ",", "9", ",", "220", ",", "11", ",", "215", ",", "7", ",", "227", ",", "5", ",", "183", ",", "54", ",", "176", ",", "63", ",", "177", ",", "66", ",", "164", ",", "73", ",", "169", ",", "82", ",", "192", ",", "53", ",", "195", ",", "47", ",", "197", ",", "46", ",", "207", ",", "42", ",", "233", ",", "19", ",", "229", ",", "25", ",", "239", ",", "18", ",", "237", ",", "13", ",", "249", ",", "7", ",", "249", ",", "14", ",", "253", ",", "9", ",", "255", ",", "17", ",", "253", ",", "17", ",", "255", ",", "17", ",", "252", ",", "35", ",", "245", ",", "26", ",", "252", ",", "23", ",", "249", ",", "30", ",", "243", ",", "43", ",", "265", ",", "15", ",", "265", ",", "19", ",", "261", ",", "25", ",", "271", ",", "13", ",", "259", ",", "19", ",", "273", ",", "26", ",", "118", ",", "160", ",", "130", ",", "168", ",", "130", ",", "171", ",", "131", ",", "170", ",", "141", ",", "160", ",", "139", ",", "166", ",", "134", ",", "162", ",", "147", ",", "160", ",", "150", ",", "222", ",", "90", ",", "226", ",", "78", ",", "240", ",", "77", ",", "238", ",", "73", ",", "259", ",", "63", ",", "257", ",", "65", ",", "270", ",", "53", ",", "230", ",", "94", ",", "230", ",", "103", ",", "226", ",", "98", ",", "226", ",", "111", ",", "221", ",", "113", ",", "191", ",", "145", ",", "196", ",", "137", ",", "202", ",", "147", ",", "196", ",", "149", ",", "198", ",", "141", ",", "186", ",", "159", ",", "182", ",", "157", ",", "192", ",", "158", ",", "188", ",", "169", ",", "196", ",", "163", ",", "199", ",", "163", ",", "198", ",", "158", ",", "198", ",", "158", ",", "202", ",", "155", ",", "227", ",", "146", ",", "218", ",", "150", ",", "214", ",", "151", ",", "213", ",", "147", ",", "224", ",", "141", ",", "245", ",", "131", ",", "208", ",", "167", ",", "206", ",", "165", ",", "214", ",", "157", ",", "224", ",", "159", ",", "212", ",", "171", ",", "228", ",", "153", ",", "218", ",", "171", ",", "228", ",", "162", ",", "39", ",", "373", ",", "19", ",", "369", ",", "27", ",", "371", ",", "30", ",", "369", ",", "26", ",", "372", ",", "25", ",", "387", ",", "13", ",", "388", ",", "19", ",", "387", ",", "26", ",", "393", ",", "11", ",", "399", ",", "9", ",", "404", ",", "83", ",", "325", ",", "89", ",", "321", ",", "106", ",", "311", ",", "111", ",", "308", ",", "107", ",", "315", ",", "115", ",", "291", ",", "134", ",", "295", ",", "130", ",", "300", ",", "129", ",", "285", ",", "146", ",", "340", ",", "93", ",", "341", ",", "90", ",", "357", ",", "83", ",", "355", ",", "90", ",", "357", ",", "81", ",", "367", ",", "74", ",", "371", ",", "73", ",", "414", ",", "31", ",", "415", ",", "45", ",", "406", ",", "45", ",", "408", ",", "29", ",", "419", ",", "30", ",", "421", ",", "37", ",", "415", ",", "19", ",", "443", ",", "22", ",", "450", ",", "23", ",", "441", ",", "25", ",", "442", ",", "18", ",", "455", ",", "15", ",", "443", ",", "19", ",", "447", ",", "29", ",", "453", ",", "27", ",", "447", ",", "27", ",", "453", ",", "30", ",", "451", ",", "31", ",", "446", ",", "62", ",", "433", ",", "50", ",", "438", ",", "45", ",", "443", ",", "42", ",", "445", ",", "39", ",", "443", ",", "57", ",", "442", ",", "61", ",", "431", ",", "78", ",", "422", ",", "29", ",", "473", ",", "26", ",", "478", ",", "33"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "2", ",", "1", ",", "4", ",", "1", ",", "4", ",", "3", ",", "1", ",", "8", ",", "7", ",", "4", ",", "1", ",", "2", ",", "6", ",", "9", ",", "9", ",", "12", ",", "17", ",", "1", ",", "1", ",", "2", ",", "9", ",", "17", ",", "14", ",", "14", ",", "13", ",", "17", ",", "25", ",", "6", ",", "2", ",", "31", ",", "32", ",", "3", ",", "34", ",", "25", ",", "13", ",", "21", ",", "21", ",", "18", ",", "19", ",", "25", ",", "19", ",", "9", ",", "39", ",", "9", ",", "36", ",", "47", ",", "48", ",", "47", ",", "49", ",", "4", ",", "52", ",", "6", ",", "19", ",", "38", ",", "18", ",", "40", ",", "29", ",", "28", ",", "29", ",", "28", ",", "35", ",", "38", ",", "31", ",", "37", ",", "28", ",", "40", ",", "61", ",", "12", ",", "58", ",", "14", ",", "56", ",", "3", ",", "6", ",", "4", ",", "6", ",", "72", ",", "3", ",", "7", ",", "79", ",", "6", ",", "82", ",", "9", ",", "81", ",", "55", ",", "31", ",", "62", ",", "27", ",", "62", ",", "24", ",", "50", ",", "52", ",", "46", ",", "46", ",", "43", ",", "58", ",", "46", ",", "44", ",", "58", ",", "48", ",", "59", ",", "49", ",", "63", ",", "44", ",", "60", ",", "89", ",", "18", ",", "93", ",", "22", ",", "89", ",", "22", ",", "96", ",", "31", ",", "113", ",", "112", ",", "8", ",", "117", ",", "115", ",", "113", ",", "12", ",", "2", ",", "4", ",", "11", ",", "118", ",", "6", ",", "119", ",", "8", ",", "125", ",", "13", ",", "120", ",", "12", ",", "44", ",", "86", ",", "48", ",", "90", ",", "43", ",", "97", ",", "41", ",", "97", ",", "49", ",", "109", ",", "69", ",", "77", ",", "81", ",", "66", ",", "78", ",", "79", ",", "68", ",", "66", ",", "90", ",", "63", ",", "85", ",", "76", ",", "67", ",", "89", ",", "73", ",", "87", ",", "69", ",", "89", ",", "76", ",", "98", ",", "66", ",", "100", ",", "71", ",", "31", ",", "138", ",", "24", ",", "143", ",", "27", ",", "139", ",", "33", ",", "139", ",", "36", ",", "144", ",", "29", ",", "133", ",", "47", ",", "175", ",", "6", ",", "11", ",", "173", ",", "4", ",", "182", ",", "182", ",", "11", ",", "13", ",", "175", ",", "17", ",", "173", ",", "11", ",", "190", ",", "180", ",", "17", ",", "184", ",", "9", ",", "190", ",", "14", ",", "186", ",", "11", ",", "195", ",", "9", ",", "186", ",", "21", ",", "186", ",", "17", ",", "195", ",", "141", ",", "77", ",", "134", ",", "73", ",", "140", ",", "78", ",", "151", ",", "69", ",", "153", ",", "63", ",", "151", ",", "72", ",", "146", ",", "56", ",", "170", ",", "108", ",", "120", ",", "108", ",", "102", ",", "126", ",", "102", ",", "122", ",", "112", ",", "112", ",", "129", ",", "97", ",", "103", ",", "137", ",", "99", ",", "141", ",", "121", ",", "131", ",", "117", ",", "104", ",", "141", ",", "107", ",", "140", ",", "114", ",", "134", ",", "112", ",", "142", ",", "112", ",", "138", ",", "118", ",", "135", ",", "104", ",", "153", ",", "104", ",", "154", ",", "109", ",", "145", ",", "213", ",", "46", ",", "227", ",", "37", ",", "225", ",", "44", ",", "226", ",", "38", ",", "215", ",", "52", ",", "218", ",", "56", ",", "214", ",", "52", ",", "225", ",", "48", ",", "233", ",", "71", ",", "206", ",", "72", ",", "273", ",", "9", ",", "275", ",", "273", ",", "14", ",", "270", ",", "18", ",", "279", ",", "6", ",", "9", ",", "283", ",", "16", ",", "267", ",", "275", ",", "21", ",", "272", ",", "27", ",", "270", ",", "296", ",", "284", ",", "12", ",", "296", ",", "280", ",", "24", ",", "280", ",", "21", ",", "286", ",", "13", ",", "296", ",", "16", ",", "290", ",", "22", ",", "295", ",", "17", ",", "306", ",", "13", ",", "307", ",", "31", ",", "289", ",", "34", ",", "292", ",", "32", ",", "297", ",", "27", ",", "305", ",", "221", ",", "108", ",", "208", ",", "122", ",", "207", ",", "114", ",", "219", ",", "117", ",", "220", ",", "113", ",", "236", ",", "106", ",", "234", ",", "101", ",", "240", ",", "97", ",", "234", ",", "111", ",", "234", ",", "118", ",", "228", ",", "87", ",", "264", ",", "86", ",", "182", ",", "166", ",", "186", ",", "168", ",", "168", ",", "197", ",", "163", ",", "198", ",", "158", ",", "184", ",", "173", ",", "187", ",", "191", ",", "173", ",", "201", ",", "166", ",", "216", ",", "207", ",", "159", ",", "213", ",", "153", ",", "217", ",", "152", ",", "184", ",", "169", ",", "205", ",", "182", ",", "196", ",", "217", ",", "159", ",", "219", ",", "166", ",", "216", ",", "167", ",", "208", ",", "177", ",", "210", ",", "176", ",", "219", ",", "168", ",", "222", ",", "173", ",", "216", ",", "187", ",", "211", ",", "178", ",", "215", ",", "162", ",", "235", ",", "159", ",", "239", ",", "163", ",", "239", ",", "171", ",", "234", ",", "181", ",", "230", ",", "334", ",", "71", ",", "334", ",", "57", ",", "353", ",", "53", ",", "348", ",", "68", ",", "350", ",", "64", ",", "351", ",", "69", ",", "334", ",", "83", ",", "342", ",", "82", ",", "337", ",", "88", ",", "334", ",", "87", ",", "348", ",", "77", ",", "351", ",", "73", ",", "362", ",", "69", ",", "324", ",", "114", ",", "320", ",", "112", ",", "428", ",", "13", ",", "425", ",", "13", ",", "428", ",", "429", ",", "26", ",", "424", ",", "22", ",", "421", ",", "28", ",", "442", ",", "13", ",", "441", ",", "9", ",", "13", ",", "442", ",", "18", ",", "432", ",", "24", ",", "416", ",", "428", ",", "33", ",", "425", ",", "37", ",", "421", ",", "41", ",", "421", ",", "47", ",", "6", ",", "24", ",", "445", ",", "17", ",", "462", ",", "9", ",", "36", ",", "434", ",", "38", ",", "437", ",", "32", ",", "446", ",", "32", ",", "436", ",", "19", ",", "461", ",", "22", ",", "460", ",", "27", ",", "454", ",", "34", ",", "453", ",", "29", ",", "463", ",", "22", ",", "477", ",", "18", ",", "468", ",", "17", ",", "446", ",", "48", ",", "452", ",", "52", ",", "449", ",", "44", ",", "447", ",", "48", ",", "464"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "2", ",", "3", ",", "3", ",", "3", ",", "3", ",", "4", ",", "9", ",", "10", ",", "4", ",", "5", ",", "12", ",", "14", ",", "7", ",", "15", ",", "14", ",", "4", ",", "16", ",", "10", ",", "7", ",", "16", ",", "7", ",", "24", ",", "22", ",", "5", ",", "23", ",", "11", ",", "20", ",", "23", ",", "11", ",", "22", ",", "10", ",", "30", ",", "5", ",", "9", ",", "30", ",", "5", ",", "33", ",", "13", ",", "31", ",", "19", ",", "9", ",", "35", ",", "15", ",", "32", ",", "15", ",", "40", ",", "10", ",", "47", ",", "8", ",", "13", ",", "43", ",", "13", ",", "53", ",", "17", ",", "45", ",", "17", ",", "41", ",", "26", ",", "39", ",", "54", ",", "22", ",", "50", ",", "21", ",", "40", ",", "28", ",", "52", ",", "16", ",", "56", ",", "13", ",", "68", ",", "10", ",", "26", ",", "61", ",", "16", ",", "61", ",", "17", ",", "75", ",", "13", ",", "61", ",", "22", ",", "61", ",", "25", ",", "59", ",", "29", ",", "55", ",", "37", ",", "17", ",", "66", ",", "31", ",", "71", ",", "26", ",", "68", ",", "41", ",", "64", ",", "23", ",", "74", ",", "27", ",", "82", ",", "25", ",", "87", ",", "21", ",", "96", ",", "11", ",", "98", ",", "74", ",", "25", ",", "93", ",", "31", ",", "87", ",", "26", ",", "93", ",", "11", ",", "99", ",", "14", ",", "86", ",", "28", ",", "92", ",", "38", ",", "90", ",", "43", ",", "84", ",", "41", ",", "77", ",", "53", ",", "78", ",", "108", ",", "22", ",", "93", ",", "45", ",", "104", ",", "35", ",", "101", ",", "43", ",", "98", ",", "59", ",", "93", ",", "56", ",", "112", ",", "41", ",", "109", ",", "38", ",", "118", ",", "35", ",", "113", ",", "27", ",", "127", ",", "29", ",", "137", ",", "26", ",", "139", ",", "16", ",", "51", ",", "104", ",", "33", ",", "133", ",", "34", ",", "123", ",", "39", ",", "125", ",", "33", ",", "132", ",", "13", ",", "153", ",", "28", ",", "151", ",", "50", ",", "136", ",", "40", ",", "133", ",", "51", ",", "123", ",", "49", ",", "129", ",", "61", ",", "121", ",", "56", ",", "124", ",", "74", ",", "113", ",", "76", ",", "113", ",", "71", ",", "35", ",", "159", ",", "56", ",", "136", ",", "63", ",", "134", ",", "51", ",", "143", ",", "52", ",", "142", ",", "62", ",", "141", ",", "87", ",", "118", ",", "70", ",", "130", ",", "81", ",", "160", ",", "61", ",", "150", ",", "56", ",", "156", ",", "44", ",", "169", ",", "50", ",", "165", ",", "35", ",", "178", ",", "35", ",", "175", ",", "40", ",", "197", ",", "27", ",", "200", ",", "23", ",", "202", ",", "29", ",", "73", ",", "149", ",", "79", ",", "182", ",", "41", ",", "189", ",", "46", ",", "177", ",", "61", ",", "177", ",", "57", ",", "184", ",", "46", ",", "189", ",", "35", ",", "219", ",", "22", ",", "203", ",", "35", ",", "217", ",", "71", ",", "179", ",", "56", ",", "193", ",", "59", ",", "189", ",", "73", ",", "175", ",", "76", ",", "185", ",", "71", ",", "168", ",", "83", ",", "174", ",", "91", ",", "181", ",", "85", ",", "156", ",", "105", ",", "162", ",", "107", ",", "159", ",", "110", ",", "167", ",", "222", ",", "49", ",", "229", ",", "44", ",", "191", ",", "80", ",", "185", ",", "88", ",", "192", ",", "74", ",", "212", ",", "77", ",", "208", ",", "74", ",", "205", ",", "89", ",", "201", ",", "98", ",", "163", ",", "118", ",", "168", ",", "99", ",", "186", ",", "115", ",", "179", ",", "65", ",", "231", ",", "83", ",", "214", ",", "75", ",", "220", ",", "77", ",", "237", ",", "59", ",", "242", ",", "71", ",", "239", ",", "70", ",", "259", ",", "57", ",", "255", ",", "49", ",", "251", ",", "58", ",", "258", ",", "31", ",", "282", ",", "38", ",", "288", ",", "32", ",", "288", ",", "31", ",", "281", ",", "216", ",", "104", ",", "221", ",", "112", ",", "214", ",", "67", ",", "258", ",", "55", ",", "272", ",", "70", ",", "268", ",", "80", ",", "253", ",", "80", ",", "253", ",", "82", ",", "256", ",", "77", ",", "275", ",", "69", ",", "271", ",", "50", ",", "321", ",", "33", ",", "316", ",", "56", ",", "293", ",", "49", ",", "311", ",", "40", ",", "252", ",", "97", ",", "281", ",", "81", ",", "278", ",", "91", ",", "275", ",", "88", ",", "255", ",", "107", ",", "250", ",", "110", ",", "265", ",", "101", ",", "265", ",", "98", ",", "242", ",", "118", ",", "250", ",", "123", ",", "242", ",", "116", ",", "255", ",", "123", ",", "225", ",", "151", ",", "234", ",", "147", ",", "225", ",", "154", ",", "227", ",", "153", ",", "225", ",", "146", ",", "67", ",", "317", ",", "68", ",", "330", ",", "63", ",", "282", ",", "118", ",", "280", ",", "129", ",", "265", ",", "127", ",", "280", ",", "123", ",", "294", ",", "103", ",", "304", ",", "111", ",", "302", ",", "106", ",", "300", ",", "113", ",", "280", ",", "127", ",", "288", ",", "121", ",", "264", ",", "179", ",", "242", ",", "171", ",", "242", ",", "143", ",", "274", ",", "152", ",", "254", ",", "163", ",", "256", ",", "92", ",", "327", ",", "128", ",", "307", ",", "117", ",", "308", ",", "107", ",", "314", ",", "112", ",", "322", ",", "93", ",", "344", ",", "83", ",", "348", ",", "100", ",", "337", ",", "95", ",", "340", ",", "105", ",", "371", ",", "81", ",", "368", ",", "79", ",", "375", ",", "68", ",", "362", ",", "83", ",", "370", ",", "85", ",", "408", ",", "47", ",", "399", ",", "53", ",", "383", ",", "46", ",", "412", ",", "44", ",", "412", ",", "45", ",", "404", ",", "57", ",", "153", ",", "316", ",", "153", ",", "304", ",", "160", ",", "308", ",", "98", ",", "375", ",", "101", ",", "388", ",", "82", ",", "391", ",", "89", ",", "379", ",", "93", ",", "365", ",", "116", ",", "363", ",", "125", ",", "373", ",", "122", ",", "367", ",", "117", ",", "378", ",", "111", ",", "397", ",", "94", ",", "393", ",", "101", ",", "391", ",", "70", ",", "460", ",", "44", ",", "450", ",", "44", ",", "457", ",", "81", ",", "422", ",", "70", ",", "449", ",", "57"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "2", ",", "2", ",", "2", ",", "5", ",", "2", ",", "5", ",", "2", ",", "5", ",", "8", ",", "1", ",", "3", ",", "8", ",", "11", ",", "2", ",", "4", ",", "9", ",", "13", ",", "10", ",", "4", ",", "21", ",", "4", ",", "18", ",", "13", ",", "13", ",", "17", ",", "6", ",", "1", ",", "29", ",", "5", ",", "31", ",", "23", ",", "21", ",", "23", ",", "16", ",", "24", ",", "6", ",", "5", ",", "3", ",", "4", ",", "39", ",", "6", ",", "31", ",", "28", ",", "28", ",", "32", ",", "23", ",", "32", ",", "22", ",", "41", ",", "46", ",", "5", ",", "4", ",", "8", ",", "54", ",", "9", ",", "56", ",", "8", ",", "38", ",", "38", ",", "33", ",", "31", ",", "26", ",", "38", ",", "27", ",", "41", ",", "29", ",", "39", ",", "9", ",", "9", ",", "70", ",", "71", ",", "65", ",", "11", ",", "73", ",", "11", ",", "73", ",", "9", ",", "72", ",", "27", ",", "32", ",", "51", ",", "39", ",", "40", ",", "47", ",", "56", ",", "43", ",", "59", ",", "36", ",", "55", ",", "39", ",", "54", ",", "23", ",", "86", ",", "80", ",", "9", ",", "94", ",", "96", ",", "5", ",", "17", ",", "92", ",", "8", ",", "91", ",", "15", ",", "98", ",", "10", ",", "99", ",", "13", ",", "77", ",", "45", ",", "37", ",", "67", ",", "53", ",", "52", ",", "66", ",", "58", ",", "47", ",", "75", ",", "54", ",", "78", ",", "48", ",", "78", ",", "54", ",", "75", ",", "52", ",", "79", ",", "31", ",", "117", ",", "115", ",", "17", ",", "124", ",", "9", ",", "10", ",", "129", ",", "5", ",", "23", ",", "123", ",", "13", ",", "132", ",", "20", ",", "126", ",", "22", ",", "133", ",", "11", ",", "134", ",", "17", ",", "133", ",", "43", ",", "104", ",", "60", ",", "51", ",", "94", ",", "67", ",", "88", ",", "83", ",", "73", ",", "86", ",", "79", ",", "58", ",", "102", ",", "69", ",", "94", ",", "72", ",", "107", ",", "64", ",", "107", ",", "71", ",", "97", ",", "73", ",", "104", ",", "76", ",", "106", ",", "43", ",", "145", ",", "22", ",", "25", ",", "159", ",", "16", ",", "171", ",", "11", ",", "5", ",", "177", ",", "12", ",", "183", ",", "160", ",", "24", ",", "169", ",", "18", ",", "179", ",", "15", ",", "169", ",", "25", ",", "169", ",", "25", ",", "180", ",", "15", ",", "183", ",", "22", ",", "182", ",", "27", ",", "194", ",", "55", ",", "140", ",", "81", ",", "79", ",", "142", ",", "83", ",", "122", ",", "94", ",", "118", ",", "112", ",", "97", ",", "120", ",", "103", ",", "114", ",", "143", ",", "85", ",", "138", ",", "87", ",", "117", ",", "97", ",", "129", ",", "85", ",", "142", ",", "85", ",", "146", ",", "97", ",", "135", ",", "103", ",", "137", ",", "94", ",", "141", ",", "102", ",", "145", ",", "55", ",", "185", ",", "44", ",", "214", ",", "213", ",", "44", ",", "216", ",", "24", ",", "229", ",", "17", ",", "235", ",", "246", ",", "16", ",", "239", ",", "16", ",", "245", ",", "6", ",", "40", ",", "220", ",", "33", ",", "229", ",", "24", ",", "253", ",", "20", ",", "243", ",", "34", ",", "233", ",", "33", ",", "228", ",", "36", ",", "246", ",", "24", ",", "252", ",", "20", ",", "246", ",", "30", ",", "248", ",", "22", ",", "245", ",", "8", ",", "204", ",", "89", ",", "169", ",", "109", ",", "108", ",", "192", ",", "99", ",", "175", ",", "122", ",", "165", ",", "128", ",", "160", ",", "149", ",", "129", ",", "158", ",", "131", ",", "162", ",", "141", ",", "153", ",", "194", ",", "106", ",", "187", ",", "115", ",", "185", ",", "127", ",", "160", ",", "131", ",", "174", ",", "114", ",", "197", ",", "116", ",", "192", ",", "111", ",", "196", ",", "132", ",", "186", ",", "131", ",", "177", ",", "132", ",", "190", ",", "127", ",", "190", ",", "138", ",", "201", ",", "130", ",", "249", ",", "76", ",", "265", ",", "61", ",", "291", ",", "40", ",", "43", ",", "273", ",", "53", ",", "294", ",", "27", ",", "310", ",", "22", ",", "318", ",", "18", ",", "5", ",", "319", ",", "19", ",", "324", ",", "22", ",", "335", ",", "10", ",", "340", ",", "293", ",", "52", ",", "307", ",", "44", ",", "311", ",", "40", ",", "323", ",", "11", ",", "329", ",", "26", ",", "331", ",", "46", ",", "308", ",", "47", ",", "317", ",", "52", ",", "312", ",", "44", ",", "333", ",", "39", ",", "334", ",", "24", ",", "343", ",", "31", ",", "332", ",", "37", ",", "338", ",", "29", ",", "327", ",", "41", ",", "366", ",", "106", ",", "274", ",", "120", ",", "260", ",", "150", ",", "236", ",", "239", ",", "142", ",", "261", ",", "150", ",", "239", ",", "165", ",", "222", ",", "165", ",", "218", ",", "176", ",", "215", ",", "201", ",", "176", ",", "218", ",", "181", ",", "223", ",", "179", ",", "211", ",", "192", ",", "207", ",", "263", ",", "143", ",", "259", ",", "153", ",", "254", ",", "159", ",", "250", ",", "173", ",", "215", ",", "181", ",", "238", ",", "179", ",", "237", ",", "157", ",", "266", ",", "163", ",", "261", ",", "160", ",", "271", ",", "153", ",", "262", ",", "178", ",", "253", ",", "180", ",", "244", ",", "190", ",", "244", ",", "181", ",", "259", ",", "172", ",", "259", ",", "174", ",", "250", ",", "164", ",", "265", ",", "198", ",", "338", ",", "103", ",", "360", ",", "83", ",", "362", ",", "50", ",", "392", ",", "392", ",", "58", ",", "368", ",", "80", ",", "398", ",", "54", ",", "413", ",", "36", ",", "421", ",", "30", ",", "430", ",", "26", ",", "437", ",", "454", ",", "9", ",", "433", ",", "25", ",", "441", ",", "29", ",", "440", ",", "13", ",", "455", ",", "13", ",", "464", ",", "399", ",", "72", ",", "406", ",", "57", ",", "415", ",", "58", ",", "421", ",", "53", ",", "439", ",", "12", ",", "448", ",", "36", ",", "449", ",", "34", ",", "448", ",", "62", ",", "419", ",", "58", ",", "427", ",", "59", ",", "426", ",", "73", ",", "423", ",", "60", ",", "454", ",", "46", ",", "446", ",", "44", ",", "466", ",", "31", ",", "466", ",", "39", ",", "453", ",", "54"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "3", ",", "1", ",", "4", ",", "3", ",", "5", ",", "3", ",", "5", ",", "4", ",", "10", ",", "11", ",", "4", ",", "4", ",", "12", ",", "13", ",", "5", ",", "6", ",", "16", ",", "19", ",", "10", ",", "21", ",", "19", ",", "5", ",", "20", ",", "13", ",", "10", ",", "19", ",", "7", ",", "11", ",", "27", ",", "5", ",", "24", ",", "17", ",", "13", ",", "26", ",", "19", ",", "35", ",", "5", ",", "10", ",", "37", ",", "5", ",", "32", ",", "17", ",", "11", ",", "35", ",", "18", ",", "30", ",", "13", ",", "46", ",", "6", ",", "17", ",", "45", ",", "11", ",", "54", ",", "18", ",", "39", ",", "27", ",", "13", ",", "44", ",", "19", ",", "43", ",", "29", ",", "53", ",", "11", ",", "57", ",", "6", ",", "22", ",", "58", ",", "14", ",", "63", ",", "7", ",", "55", ",", "29", ",", "50", ",", "34", ",", "17", ",", "64", ",", "26", ",", "56", ",", "30", ",", "50", ",", "41", ",", "68", ",", "14", ",", "74", ",", "10", ",", "29", ",", "65", ",", "20", ",", "73", ",", "18", ",", "81", ",", "7", ",", "94", ",", "29", ",", "64", ",", "38", ",", "62", ",", "46", ",", "20", ",", "83", ",", "34", ",", "78", ",", "38", ",", "72", ",", "46", ",", "64", ",", "50", ",", "88", ",", "17", ",", "100", ",", "23", ",", "108", ",", "82", ",", "36", ",", "98", ",", "25", ",", "95", ",", "21", ",", "105", ",", "18", ",", "120", ",", "6", ",", "92", ",", "38", ",", "83", ",", "50", ",", "91", ",", "55", ",", "77", ",", "112", ",", "29", ",", "96", ",", "44", ",", "101", ",", "49", ",", "95", ",", "51", ",", "86", ",", "65", ",", "78", ",", "33", ",", "116", ",", "22", ",", "130", ",", "27", ",", "137", ",", "13", ",", "144", ",", "105", ",", "47", ",", "127", ",", "33", ",", "125", ",", "38", ",", "136", ",", "27", ",", "138", ",", "18", ",", "155", ",", "7", ",", "157", ",", "51", ",", "120", ",", "63", ",", "108", ",", "58", ",", "118", ",", "70", ",", "101", ",", "142", ",", "31", ",", "141", ",", "57", ",", "126", ",", "55", ",", "132", ",", "63", ",", "123", ",", "65", ",", "122", ",", "76", ",", "104", ",", "87", ",", "104", ",", "42", ",", "148", ",", "30", ",", "168", ",", "27", ",", "163", ",", "38", ",", "181", ",", "19", ",", "188", ",", "138", ",", "62", ",", "143", ",", "39", ",", "164", ",", "41", ",", "158", ",", "49", ",", "176", ",", "37", ",", "178", ",", "35", ",", "191", ",", "11", ",", "198", ",", "7", ",", "205", ",", "68", ",", "159", ",", "78", ",", "141", ",", "83", ",", "141", ",", "75", ",", "153", ",", "91", ",", "133", ",", "102", ",", "46", ",", "191", ",", "49", ",", "182", ",", "70", ",", "164", ",", "74", ",", "173", ",", "65", ",", "158", ",", "77", ",", "158", ",", "86", ",", "158", ",", "98", ",", "133", ",", "109", ",", "132", ",", "113", ",", "194", ",", "51", ",", "196", ",", "39", ",", "216", ",", "35", ",", "222", ",", "44", ",", "208", ",", "26", ",", "230", ",", "23", ",", "245", ",", "181", ",", "86", ",", "185", ",", "79", ",", "217", ",", "55", ",", "213", ",", "52", ",", "207", ",", "62", ",", "223", ",", "44", ",", "226", ",", "42", ",", "234", ",", "44", ",", "249", ",", "26", ",", "265", ",", "21", ",", "274", ",", "14", ",", "203", ",", "86", ",", "206", ",", "91", ",", "184", ",", "107", ",", "183", ",", "109", ",", "194", ",", "93", ",", "173", ",", "118", ",", "170", ",", "127", ",", "167", ",", "240", ",", "54", ",", "238", ",", "61", ",", "237", ",", "97", ",", "212", ",", "93", ",", "211", ",", "84", ",", "223", ",", "79", ",", "206", ",", "100", ",", "209", ",", "110", ",", "203", ",", "110", ",", "189", ",", "131", ",", "173", ",", "141", ",", "175", ",", "150", ",", "177", ",", "71", ",", "259", ",", "75", ",", "256", ",", "50", ",", "282", ",", "44", ",", "285", ",", "44", ",", "276", ",", "63", ",", "272", ",", "27", ",", "299", ",", "31", ",", "313", ",", "22", ",", "106", ",", "230", ",", "103", ",", "242", ",", "103", ",", "283", ",", "73", ",", "278", ",", "70", ",", "283", ",", "75", ",", "272", ",", "82", ",", "290", ",", "57", ",", "290", ",", "62", ",", "305", ",", "54", ",", "302", ",", "50", ",", "324", ",", "34", ",", "347", ",", "23", ",", "348", ",", "10", ",", "350", ",", "23", ",", "263", ",", "111", ",", "269", ",", "108", ",", "243", ",", "137", ",", "237", ",", "140", ",", "236", ",", "140", ",", "253", ",", "121", ",", "261", ",", "156", ",", "231", ",", "162", ",", "224", ",", "166", ",", "217", ",", "314", ",", "73", ",", "324", ",", "82", ",", "314", ",", "84", ",", "268", ",", "117", ",", "276", ",", "121", ",", "276", ",", "119", ",", "292", ",", "110", ",", "293", ",", "131", ",", "266", ",", "131", ",", "274", ",", "141", ",", "267", ",", "146", ",", "269", ",", "151", ",", "247", ",", "170", ",", "224", ",", "183", ",", "242", ",", "190", ",", "218", ",", "191", ",", "235", ",", "92", ",", "338", ",", "97", ",", "334", ",", "91", ",", "362", ",", "60", ",", "371", ",", "58", ",", "370", ",", "57", ",", "370", ",", "74", ",", "354", ",", "82", ",", "395", ",", "46", ",", "389", ",", "41", ",", "409", ",", "26", ",", "413", ",", "306", ",", "141", ",", "296", ",", "132", ",", "314", ",", "133", ",", "320", ",", "83", ",", "357", ",", "91", ",", "360", ",", "87", ",", "368", ",", "98", ",", "349", ",", "106", ",", "354", ",", "83", ",", "384", ",", "73", ",", "382", ",", "79", ",", "397", ",", "74", ",", "398", ",", "75", ",", "405", ",", "47", ",", "425", ",", "43", ",", "453", ",", "28", ",", "436", ",", "23", ",", "465", ",", "21", ",", "455", ",", "134", ",", "343", ",", "146", ",", "350", ",", "141", ",", "347", ",", "171", ",", "311", ",", "177", ",", "309", ",", "182", ",", "314", ",", "183", ",", "320", ",", "165", ",", "331", ",", "156", ",", "340", ",", "203", ",", "300", ",", "196", ",", "297", ",", "211", ",", "288", ",", "221"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "2", ",", "1", ",", "4", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "8", ",", "1", ",", "8", ",", "10", ",", "11", ",", "8", ",", "7", ",", "1", ",", "16", ",", "10", ",", "8", ",", "2", ",", "20", ",", "12", ",", "8", ",", "20", ",", "5", ",", "11", ",", "23", ",", "13", ",", "8", ",", "24", ",", "4", ",", "1", ",", "25", ",", "10", ",", "22", ",", "19", ",", "10", ",", "31", ",", "5", ",", "3", ",", "31", ",", "10", ",", "36", ",", "22", ",", "24", ",", "39", ",", "20", ",", "38", ",", "45", ",", "48", ",", "4", ",", "19", ",", "45", ",", "15", ",", "23", ",", "26", ",", "31", ",", "50", ",", "15", ",", "49", ",", "21", ",", "11", ",", "7", ",", "2", ",", "53", ",", "25", ",", "55", ",", "19", ",", "54", ",", "34", ",", "43", ",", "38", ",", "23", ",", "66", ",", "31", ",", "61", ",", "26", ",", "13", ",", "6", ",", "75", ",", "3", ",", "20", ",", "59", ",", "29", ",", "68", ",", "23", ",", "68", ",", "59", ",", "51", ",", "39", ",", "49", ",", "72", ",", "20", ",", "74", ",", "32", ",", "77", ",", "30", ",", "76", ",", "87", ",", "97", ",", "11", ",", "2", ",", "5", ",", "25", ",", "73", ",", "32", ",", "87", ",", "32", ",", "88", ",", "30", ",", "42", ",", "53", ",", "67", ",", "47", ",", "62", ",", "57", ",", "35", ",", "99", ",", "30", ",", "85", ",", "28", ",", "92", ",", "41", ",", "95", ",", "109", ",", "122", ",", "12", ",", "118", ",", "3", ",", "128", ",", "106", ",", "42", ",", "85", ",", "40", ",", "112", ",", "41", ",", "105", ",", "32", ",", "106", ",", "91", ",", "52", ",", "66", ",", "84", ",", "60", ",", "76", ",", "75", ",", "38", ",", "109", ",", "31", ",", "129", ",", "31", ",", "108", ",", "35", ",", "117", ",", "47", ",", "110", ",", "41", ",", "24", ",", "10", ",", "153", ",", "13", ",", "148", ",", "4", ",", "3", ",", "7", ",", "38", ",", "119", ",", "58", ",", "127", ",", "55", ",", "140", ",", "51", ",", "133", ",", "39", ",", "145", ",", "47", ",", "67", ",", "117", ",", "99", ",", "82", ",", "105", ",", "76", ",", "91", ",", "92", ",", "102", ",", "144", ",", "55", ",", "154", ",", "34", ",", "147", ",", "38", ",", "134", ",", "53", ",", "154", ",", "50", ",", "141", ",", "64", ",", "151", ",", "175", ",", "32", ",", "13", ",", "195", ",", "19", ",", "192", ",", "23", ",", "1", ",", "5", ",", "202", ",", "157", ",", "47", ",", "150", ",", "68", ",", "140", ",", "59", ",", "150", ",", "42", ",", "168", ",", "65", ",", "167", ",", "49", ",", "182", ",", "46", ",", "170", ",", "145", ",", "82", ",", "103", ",", "125", ",", "104", ",", "132", ",", "96", ",", "144", ",", "116", ",", "121", ",", "110", ",", "59", ",", "171", ",", "41", ",", "195", ",", "43", ",", "205", ",", "57", ",", "199", ",", "79", ",", "182", ",", "53", ",", "184", ",", "67", ",", "178", ",", "80", ",", "191", ",", "67", ",", "37", ",", "219", ",", "247", ",", "13", ",", "244", ",", "22", ",", "243", ",", "28", ",", "6", ",", "5", ",", "261", ",", "12", ",", "260", ",", "210", ",", "60", ",", "189", ",", "85", ",", "182", ",", "95", ",", "200", ",", "88", ",", "224", ",", "59", ",", "198", ",", "82", ",", "211", ",", "68", ",", "223", ",", "55", ",", "213", ",", "71", ",", "106", ",", "182", ",", "104", ",", "129", ",", "158", ",", "130", ",", "169", ",", "128", ",", "176", ",", "114", ",", "150", ",", "147", ",", "150", ",", "139", ",", "158", ",", "215", ",", "86", ",", "242", ",", "59", ",", "247", ",", "46", ",", "235", ",", "71", ",", "251", ",", "98", ",", "219", ",", "83", ",", "249", ",", "76", ",", "237", ",", "92", ",", "227", ",", "101", ",", "239", ",", "80", ",", "248", ",", "279", ",", "48", ",", "275", ",", "308", ",", "15", ",", "308", ",", "28", ",", "309", ",", "32", ",", "297", ",", "327", ",", "329", ",", "6", ",", "5", ",", "15", ",", "328", ",", "250", ",", "74", ",", "264", ",", "103", ",", "236", ",", "113", ",", "220", ",", "93", ",", "251", ",", "111", ",", "284", ",", "69", ",", "278", ",", "103", ",", "249", ",", "86", ",", "265", ",", "77", ",", "280", ",", "66", ",", "286", ",", "93", ",", "272", ",", "228", ",", "134", ",", "233", ",", "129", ",", "164", ",", "199", ",", "166", ",", "206", ",", "159", ",", "211", ",", "151", ",", "224", ",", "192", ",", "192", ",", "185", ",", "192", ",", "176", ",", "203", ",", "137", ",", "110", ",", "272", ",", "107", ",", "306", ",", "75", ",", "313", ",", "50", ",", "327", ",", "94", ",", "302", ",", "74", ",", "267", ",", "123", ",", "277", ",", "104", ",", "314", ",", "91", ",", "296", ",", "100", ",", "284", ",", "116", ",", "273", ",", "124", ",", "303", ",", "101", ",", "302", ",", "351", ",", "57", ",", "350", ",", "62", ",", "24", ",", "392", ",", "17", ",", "388", ",", "37", ",", "386", ",", "29", ",", "376", ",", "44", ",", "8", ",", "4", ",", "417", ",", "8", ",", "6", ",", "17", ",", "415", ",", "62", ",", "93", ",", "336", ",", "95", ",", "302", ",", "134", ",", "298", ",", "143", ",", "268", ",", "151", ",", "322", ",", "122", ",", "301", ",", "50", ",", "357", ",", "86", ",", "352", ",", "109", ",", "313", ",", "123", ",", "340", ",", "113", ",", "342", ",", "95", ",", "352", ",", "83", ",", "362", ",", "115", ",", "339", ",", "112", ",", "170", ",", "290", ",", "168", ",", "297", ",", "163", ",", "208", ",", "253", ",", "215", ",", "258", ",", "194", ",", "267", ",", "205", ",", "272", ",", "190", ",", "282", ",", "242", ",", "239", ",", "233", ",", "243", ",", "235", ",", "238", ",", "222", ",", "252", ",", "362", ",", "139", ",", "344", ",", "138", ",", "404", ",", "100", ",", "391", ",", "93", ",", "401", ",", "73", ",", "412", ",", "119", ",", "381", ",", "95", ",", "401", ",", "159", ",", "341", ",", "148", ",", "351", ",", "130", ",", "396", ",", "107", ",", "370", ",", "128", ",", "375", ",", "146"}], "}"}]}], "}"}]}], ";"}], "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"jLintersection", "[", RowBox[{"n_", ",", "rs_"}], "]"}], " ", ":=", " ", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"p", ",", " ", "q", ",", "u"}], "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"elim", "=", RowBox[{"{", "}"}]}], ";", RowBox[{"elim2", "=", RowBox[{"{", "}"}]}], ";", RowBox[{"p", " ", "=", " ", RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ RowBox[{"Range", "[", "n", "]"}], ",", RowBox[{"Sort", "[", RowBox[{ RowBox[{"Table", "[", RowBox[{"m", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"m", ",", "2", ",", RowBox[{"n", "-", "1"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", "Greater"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", " ", "=", " ", RowBox[{"Reverse", "[", RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ RowBox[{"Reverse", "[", RowBox[{"Range", "[", "n", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{"k", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"k", ",", "2", ",", RowBox[{"n", "-", "1"}]}], "}"}]}], "]"}]}], "]"}], "]"}]}], ";", "\n", " ", RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"u1", "=", RowBox[{"First", "[", "p", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"u2", "=", RowBox[{"First", "[", RowBox[{"RotateLeft", "[", RowBox[{"p", ",", "1"}], "]"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"u1", "\[Equal]", "u2"}], ",", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"RotateLeft", "[", RowBox[{"p", ",", "2"}], "]"}]}], ",", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"RotateLeft", "[", RowBox[{"p", ",", "1"}], "]"}]}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"s", ",", "1", ",", "rs"}], "}"}]}], "]"}], ";", "\n", " ", RowBox[{"u", " ", "=", " ", RowBox[{"First", "[", "p", "]"}]}], ";", "\n", " ", RowBox[{"p", " ", "=", " ", RowBox[{"Rest", "[", "p", "]"}]}], ";", RowBox[{"elim", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"elim", ",", "u"}], "]"}]}], ";", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"MemberQ", "[", RowBox[{"p", ",", "u"}], "]"}], ",", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Delete", "[", RowBox[{"p", ",", RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"p", ",", "u"}], "]"}]}], "]"}]}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"MemberQ", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}], ",", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Delete", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}]}], "]"}]}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", "p", "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Break", "[", "]"}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"u1", "=", RowBox[{"Last", "[", "q", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"u2", "=", RowBox[{"Last", "[", RowBox[{"RotateRight", "[", RowBox[{"q", ",", "1"}], "]"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"u1", "\[Equal]", "u2"}], ",", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"RotateRight", "[", RowBox[{"q", ",", "2"}], "]"}]}], ",", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"RotateRight", "[", RowBox[{"q", ",", "1"}], "]"}]}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"s", ",", "1", ",", "rs"}], "}"}]}], "]"}], ";", "\n", " ", RowBox[{"u", " ", "=", " ", RowBox[{"Last", "[", "q", "]"}]}], ";", "\n", " ", RowBox[{"q", " ", "=", " ", RowBox[{"Drop", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{"-", "1"}]}], "]"}]}], ";", RowBox[{"elim2", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"elim2", ",", "u"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"MemberQ", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}], ",", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Delete", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}]}], "]"}]}], ","}], "]"}], ";", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"MemberQ", "[", RowBox[{"p", ",", "u"}], "]"}], ",", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Delete", "[", RowBox[{"p", ",", RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"p", ",", "u"}], "]"}]}], "]"}]}], ","}], "]"}], ";", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", "q", "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Break", "[", "]"}], ","}], "]"}]}], ",", " ", RowBox[{"{", RowBox[{"t", ",", " ", "1", ",", " ", RowBox[{"Ceiling", "[", RowBox[{"n", "/", "2"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ";", "\n", RowBox[{"{", RowBox[{"elim", ",", "elim2"}], "}"}]}]}], "]"}]}], ";"}], "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"gr2", "[", RowBox[{"m_", ",", "x_List", ",", "y_List"}], "]"}], ":=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"num", "=", "m"}], "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"la", "=", RowBox[{"Complement", "[", RowBox[{ RowBox[{"Range", "[", "num", "]"}], ",", "x", ",", "y"}], "]"}]}], ";", RowBox[{"haba", "=", "0.5"}], ";", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{"nn", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"nn", ",", "1", ",", "num"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", RowBox[{"qq", "=", "x"}], ";", RowBox[{"rr", "=", "y"}], ";", RowBox[{"Show", "[", RowBox[{"Graphics", "[", RowBox[{ RowBox[{"Evaluate", "[", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "1", "]"}], ",", RowBox[{"Disk", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"num", "+", "1"}], ",", "1"}], "}"}], ",", "0.4"}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "1", "]"}], ",", RowBox[{"Disk", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "1"}], "}"}], ",", "0.4"}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "0.9", "]"}], ",", RowBox[{"Disk", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"qq", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}], ",", "1"}], "}"}], ",", "0.4"}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", RowBox[{"Length", "[", "qq", "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "0.2", "]"}], ",", RowBox[{"Disk", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"rr", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}], ",", "1"}], "}"}], ",", "0.4"}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", RowBox[{"Length", "[", "rr", "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", "la", "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Hue", "[", "0.4", "]"}], ",", RowBox[{"RGBColor", "[", RowBox[{"1", ",", "1", ",", "1"}], "]"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"Circle", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"la", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}], ",", "1"}], "}"}], ",", "0.4"}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"GrayLevel", "[", "0.6", "]"}], ",", RowBox[{"Text", "[", RowBox[{ RowBox[{"pp", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"pp", "[", RowBox[{"[", "n", "]"}], "]"}], ",", "1"}], "}"}]}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", RowBox[{"Length", "[", "pp", "]"}]}], "}"}]}], "]"}]}], "}"}], "]"}], ",", RowBox[{"ImageSize", "->", RowBox[{"{", RowBox[{"400", ",", "300"}], "}"}]}]}], "]"}], "]"}]}]}], "]"}]}], ";", StyleBox[ RowBox[{ RowBox[{"proc", "[", "n2_", "]"}], ":=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", "pp", "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "0"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"1", ",", "0"}], "}"}]}], "}"}]}], ";", RowBox[{"k", "=", "1"}], ";", RowBox[{"h", "=", "0"}], ";", RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"h", "=", RowBox[{"h", "+", "1"}]}], ";", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"pp", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"k", ",", "h"}], "}"}]}], "]"}]}], ";", RowBox[{"k", "=", RowBox[{"k", "+", "1"}]}], ";", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"pp", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"k", ",", "h"}], "}"}]}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"ss", ",", RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"n2", "/", "2"}], "-", "1"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ";", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"OddQ", "[", "n2", "]"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"h", "=", RowBox[{"h", "+", "1"}]}], ";", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"Append", "[", RowBox[{"pp", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"k", ",", "h"}], "}"}]}], "]"}]}]}], ","}], "]"}], ";", "pp"}]}], "]"}]}], FontSize->12], StyleBox[";", FontSize->12]}], "\[IndentingNewLine]", StyleBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"d12", "[", RowBox[{"k_", ",", "r_"}], "]"}], ":=", RowBox[{ RowBox[{"jLintersection", "[", RowBox[{"k", ",", "r"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], ";", RowBox[{ RowBox[{"d22", "[", RowBox[{"k_", ",", "r_"}], "]"}], ":=", RowBox[{ RowBox[{"jLintersection", "[", RowBox[{"k", ",", "r"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "2", "]"}], "]"}]}], ";"}], FontSize->12]}], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, InitializationCell->True, CellChangeTimes->{ 3.35696210375764*^9, {3.4013074419370003`*^9, 3.4013074431538*^9}, { 3.4013074823722*^9, 3.4013075038066*^9}, {3.401307534523*^9, 3.4013075388286*^9}, {3.4013082748366003`*^9, 3.4013083315894003`*^9}, { 3.4013086719189997`*^9, 3.4013087285313997`*^9}, {3.4013091897766*^9, 3.4013092183246*^9}, {3.401309252005*^9, 3.4013092665442*^9}, { 3.4013102949118*^9, 3.4013102967525997`*^9}, {3.4013103489346*^9, 3.4013103967018003`*^9}, {3.401310431599*^9, 3.401310449929*^9}, { 3.4013108428306*^9, 3.4013108828914003`*^9}, 3.4013111666242*^9, { 3.4013117343238*^9, 3.4013117353534*^9}, {3.4013118268786*^9, 3.4013118752854*^9}, 3.401311912429*^9, {3.4013119460782003`*^9, 3.4013119489798*^9}, 3.4013119821454*^9, {3.401315529133*^9, 3.4013155318006*^9}, {3.4013156467726*^9, 3.4013156480674*^9}, { 3.4191171692216*^9, 3.419117217566*^9}, {3.419117341976*^9, 3.4191173645336*^9}, {3.419401086127*^9, 3.4194010933050003`*^9}, { 3.4194013184560003`*^9, 3.4194013299519997`*^9}, {3.419401366684*^9, 3.419401367276*^9}, 3.41940156795*^9, {3.4194083268719997`*^9, 3.419408342585*^9}, {3.41940837296*^9, 3.419408373795*^9}, { 3.419408438292*^9, 3.4194084463789997`*^9}, {3.419408503816*^9, 3.419408518033*^9}, {3.41940855417*^9, 3.419408565966*^9}, { 3.4194086688380003`*^9, 3.419408692341*^9}, {3.419414264974*^9, 3.4194143299440002`*^9}, {3.4194162686661997`*^9, 3.4194162754432*^9}, { 3.4194165314962*^9, 3.4194165320492*^9}, {3.4194169810762*^9, 3.4194170761572*^9}, 3.4194171292732*^9, {3.4194478864708*^9, 3.4194478868296003`*^9}, {3.4194528021906*^9, 3.4194528043434*^9}, { 3.4194528697854*^9, 3.4194528711893997`*^9}, {3.419453064333*^9, 3.4194530655966*^9}, 3.419454161534*^9, 3.4194542483012*^9, { 3.419600022351764*^9, 3.41960002991152*^9}, {3.419787641621559*^9, 3.4197876446568623`*^9}, {3.4216547304276*^9, 3.4216547510352*^9}, { 3.42382167767*^9, 3.423821681936*^9}}, CellID->339773916] }, Closed]], Cell["\<\ Section 1. Introduction and the traditional Josephus Problem.\ \>", "Section", CellChangeTimes->{{3.4233103945968*^9, 3.4233104120844*^9}, { 3.42362690835*^9, 3.423626911675*^9}, {3.4236340998529997`*^9, 3.423634117668*^9}}], Cell["\<\ According to legend, Josephus was the leader of a group of Jewish rebels who \ were trapped by the Romans.His subordinates preferred suicide to surrender, \ so they decided to form a circle and eliminate every other member until no \ one was left.Josephus wanted to live, so he calculated where to stand and \ managed to be the last member.If there were n numbers, where did Josephus \ stand? We denote by J (n) the position of the survivor.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.423582867453125*^9, 3.423582878921875*^9}}], Cell["\<\ The Josephus function J(n) has the following recursive relations. J (2 m) = 2 J (m) - 1 J (2 m + 1) = 2 J (m) + 1 These are well known recursive relation.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.4236337509040003`*^9, 3.423633793275*^9}, { 3.4236339100690002`*^9, 3.423633949825*^9}}], Cell["Section 2. A Josephus problem with an intersection.", "Section", CellChangeTimes->{{3.4233103945968*^9, 3.4233104120844*^9}, { 3.42362690835*^9, 3.423626911675*^9}, {3.4236340998529997`*^9, 3.42363413476*^9}, 3.423634180264*^9}], Cell["\<\ In this variant of the Josephus Problem two numbers are to be eliminated at \ the same time, but two processes of elimination go for different directions. \ Let n and k be natural numbers. Suppose that there are n-numbers.Then the \ \[FiLigature]rst process of elimination starts with the 1 st number and the \ k-th, 2k-th, 3k-th number, ... are to be eliminated.The second process starts \ with the n - th number, and the (n \:2212 k+1) - th, (n \:2212 2k+1) - th, \ (n-3k+1)th number, ... are to be eliminated.We suppose that the \ \[FiLigature]rst process comes \[FiLigature]rst and the second process second \ at every stage. We denote the position of the survivor by JI (n,k).\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.423583135921875*^9, 3.423583165328125*^9}, { 3.423641576093*^9, 3.423641628531*^9}, {3.423688007039*^9, 3.4236880074309998`*^9}, {3.4236880407139997`*^9, 3.423688117995*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Example. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], "This is a Mathematica function to calculate JI (n,k). It is based on a \ very simple algorithm. You can calculate JI (n,k) by JI[n,k]." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellChangeTimes->{{3.4232529138125*^9, 3.423252967765625*^9}, { 3.423581506265625*^9, 3.42358150746875*^9}, 3.423582806515625*^9, { 3.423635091385*^9, 3.423635093983*^9}, {3.423635260757*^9, 3.423635262825*^9}, {3.423642345561*^9, 3.4236423479379997`*^9}, { 3.423688183528*^9, 3.423688217108*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"JI", "[", RowBox[{"m_", ",", "mm_"}], "]"}], ":=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ "t", ",", "p", ",", "q", ",", "u", ",", "v", ",", "w", ",", "pp"}], "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"m", ">", "1"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"w", "=", RowBox[{"mm", "-", "1"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"t", "=", RowBox[{"Range", "[", "m", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"p", "=", "t"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", "t"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"p", "=", RowBox[{"RotateLeft", "[", RowBox[{"p", ",", "w"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"u", "=", RowBox[{"First", "[", "p", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Rest", "[", "p", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Drop", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{ RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", "p", "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Break", "[", "]"}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"RotateRight", "[", RowBox[{"q", ",", "w"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"v", "=", RowBox[{"Last", "[", "q", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Drop", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{"-", "1"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Drop", "[", RowBox[{"p", ",", RowBox[{ RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"p", ",", "v"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", "q", "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Break", "[", "]"}], ","}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", RowBox[{"Ceiling", "[", RowBox[{"m", "/", "2"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ";", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"p", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{"pp", "=", "1"}]}], "]"}], ";", "pp"}]}], "]"}]}], ";"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellChangeTimes->{{3.4215679473459997`*^9, 3.4215679941303997`*^9}, { 3.4215694365868*^9, 3.4215695149768*^9}, {3.4216155942516003`*^9, 3.4216155951096*^9}, {3.423252905640625*^9, 3.4232529056875*^9}, 3.423252967765625*^9, {3.423641874962*^9, 3.423641875375*^9}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Example. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " Here we can show how to use JI (n,k). " }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellChangeTimes->{{3.4232529138125*^9, 3.423252967765625*^9}, { 3.423581506265625*^9, 3.42358150746875*^9}, 3.423582806515625*^9, { 3.423635091385*^9, 3.423635093983*^9}, {3.423635260757*^9, 3.423635262825*^9}, {3.423635918146*^9, 3.4236359408599997`*^9}, { 3.423636042943*^9, 3.423636047059*^9}, {3.423642361084*^9, 3.423642366729*^9}, 3.423642415117*^9}], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"JI", "[", RowBox[{"256", ",", "2"}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellChangeTimes->{{3.4215679473459997`*^9, 3.4215679941303997`*^9}, { 3.4215694365868*^9, 3.4215695149768*^9}, {3.4216155942516003`*^9, 3.4216155951096*^9}, {3.423252905640625*^9, 3.4232529056875*^9}, 3.423252967765625*^9, {3.423636057384*^9, 3.423636081474*^9}, 3.423636179822*^9, {3.423641879941*^9, 3.423641880416*^9}, { 3.4237238016540003`*^9, 3.423723804005*^9}, 3.423723868585*^9}], Cell[BoxData["214"], "Output", CellChangeTimes->{3.423636082532*^9, 3.423636181058*^9, 3.4236418812790003`*^9, 3.423723805079*^9, 3.423723869613*^9}] }, Open ]] }, Open ]], Cell["\<\ By the above calcualtion we know the following fact. If we put 256 person in a circle and we eliminate every 2nd person in the \ Josephus Problem with an intersection, then the 214th person will be the \ survivor.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.423642422381*^9, 3.423642456325*^9}, {3.423642509211*^9, 3.423642633575*^9}, {3.4237241458780003`*^9, 3.423724164623*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Example.", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " This is a Mathematica Demonstration to show how to eliminate numbers in \ the Josephus problems with intersection. Note that the number of steps should \ not be bigger than the number of numbers.\nIf you choose \"demo\", you can \ see how to eliminate numbers.\nIf you choose \"graph\", you can see the \ graphs of these variants. \nThe horizontal coordinate is for the number of \ number involved in the game, and the vertical coordinate is for the position \ of the last number remains. For example by JI(256,2) = 214 we have the point \ (256, 214) in the graph for k = 2." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{{3.42325297271875*^9, 3.4232529919375*^9}, 3.423253039640625*^9, {3.423581513671875*^9, 3.42358152265625*^9}, { 3.423582928640625*^9, 3.423582932015625*^9}, {3.4236352396099997`*^9, 3.4236352561870003`*^9}, {3.423723166929*^9, 3.42372316763*^9}, 3.4237234078640003`*^9, {3.423723602764*^9, 3.423723654361*^9}, { 3.4237237435699997`*^9, 3.423723797826*^9}}], Cell[TextData[{ StyleBox["Remark.", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " If the following Demonstration does not work properly, please activate \ Initialization Codes at the beginning of this article." }], "Text", CellChangeTimes->{{3.423820532283*^9, 3.4238206026219997`*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"Manipulate", "[", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"hh", ">", "nn"}], ",", RowBox[{"hh", "=", "nn"}]}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"Which", "[", RowBox[{ RowBox[{"se", "\[Equal]", "20"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"pic2", "[", RowBox[{"nn", ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"d1", "[", RowBox[{"nn", ",", RowBox[{"mm", "-", "1"}]}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "s", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"s", ",", "1", ",", RowBox[{ RowBox[{"proc", "[", "nn", "]"}], "[", RowBox[{"[", RowBox[{"hh", ",", "1"}], "]"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"d2", "[", RowBox[{"nn", ",", RowBox[{"mm", "-", "1"}]}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "u", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"u", ",", "1", ",", RowBox[{ RowBox[{"proc", "[", "nn", "]"}], "[", RowBox[{"[", RowBox[{"hh", ",", "2"}], "]"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}]}], "]"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"se", "\[Equal]", "1000"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"ListPlot", "[", RowBox[{ RowBox[{"gg", "[", RowBox[{"[", RowBox[{"mm", "-", "1"}], "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"PlotRange", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "500"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "500"}], "}"}]}], "}"}]}], ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{"350", ",", "350"}], "}"}]}]}], "]"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"se", ",", "20", ",", "\"\<\>\""}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"20", "\[Rule]", "\"\\""}], ",", RowBox[{"1000", "\[Rule]", "\"\\""}]}], "}"}], ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "Tiny"}]}], "}"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"nn", ",", "8", ",", "\"\\""}], "}"}], ",", "2", ",", "20", ",", "1", ",", RowBox[{"Enabled", "\[Rule]", RowBox[{"se", "===", "20"}]}], ",", RowBox[{"Appearance", "\[Rule]", "\"\\""}], ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "Tiny"}]}], "}"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"hh", ",", "4", ",", "\"\\""}], "}"}], ",", "1", ",", "nn", ",", "1", ",", RowBox[{"Enabled", "\[Rule]", RowBox[{"se", "===", "20"}]}], ",", RowBox[{"Appearance", "\[Rule]", "\"\\""}], ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "Tiny"}]}], "}"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"mm", ",", "2", ",", "\"\\""}], "}"}], ",", "2", ",", "9", ",", "1", ",", RowBox[{"Enabled", "\[Rule]", RowBox[{"se", "===", "20"}]}], ",", RowBox[{"Appearance", "\[Rule]", "\"\\""}], ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "Tiny"}]}], "}"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"ControlPlacement", "\[Rule]", "Left"}]}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{ 3.35696210375764*^9, 3.4012366252102003`*^9, {3.4191172715732*^9, 3.4191173002616*^9}, {3.4191174078548*^9, 3.4191174405836*^9}, { 3.4191174706604*^9, 3.4191175086932*^9}, {3.4194158059744*^9, 3.4194158377984*^9}, {3.4194161393212*^9, 3.4194161507052*^9}, { 3.4194170964642*^9, 3.4194171028862*^9}, {3.41944793533*^9, 3.4194479377792*^9}, {3.41945242574*^9, 3.4194524266916*^9}, 3.4194530920386*^9, {3.4194533844578*^9, 3.4194534228494*^9}, { 3.4194534831902*^9, 3.4194535501298*^9}, {3.4194536124206*^9, 3.4194536152130003`*^9}, {3.4194536655386*^9, 3.4194536709362*^9}, { 3.4194544751252003`*^9, 3.4194545267320004`*^9}, {3.4194597802072*^9, 3.4194597811432*^9}, {3.4196000525977883`*^9, 3.419600116601188*^9}, { 3.419600148761404*^9, 3.4196001710676346`*^9}, {3.4197177635555754`*^9, 3.4197178051462097`*^9}, {3.419717838540491*^9, 3.419717913431735*^9}, { 3.4197181099880743`*^9, 3.4197181821784244`*^9}, {3.419718226329443*^9, 3.4197182547434654`*^9}, {3.4197182847655334`*^9, 3.419718339923083*^9}, { 3.41978750912331*^9, 3.4197875469490924`*^9}, {3.419787590478445*^9, 3.419787611599557*^9}, {3.4197876570411005`*^9, 3.419787660213418*^9}, { 3.4197950212344465`*^9, 3.4197950212744503`*^9}, 3.4216194592925997`*^9, 3.42325351421875*^9, {3.42372260354*^9, 3.4237226040950003`*^9}}], Cell[BoxData[ TagBox[ StyleBox[ DynamicModuleBox[{$CellContext`hh$$ = 4, $CellContext`mm$$ = 2, $CellContext`nn$$ = 8, $CellContext`se$$ = 20, Typeset`show$$ = True, Typeset`bookmarkList$$ = {}, Typeset`bookmarkMode$$ = "Menu", Typeset`animator$$, Typeset`animvar$$ = 1, Typeset`name$$ = "\"untitled\"", Typeset`specs$$ = {{{ Hold[$CellContext`se$$], 20, ""}, {20 -> "demo", 1000 -> "graph"}}, {{ Hold[$CellContext`nn$$], 8, "number of players n"}, 2, 20, 1}, {{ Hold[$CellContext`hh$$], 4, "steps (half-stages)"}, 1, Dynamic[$CellContext`nn$$], 1}, {{ Hold[$CellContext`mm$$], 2, "k th"}, 2, 9, 1}}, Typeset`size$$ = { 350., {173., 177.}}, Typeset`update$$ = 0, Typeset`initDone$$, Typeset`skipInitDone$$ = True, $CellContext`se$458$$ = False, $CellContext`nn$459$$ = 0, $CellContext`hh$460$$ = 0, $CellContext`mm$461$$ = 0}, DynamicBox[Manipulate`ManipulateBoxes[ 1, StandardForm, "Variables" :> {$CellContext`hh$$ = 4, $CellContext`mm$$ = 2, $CellContext`nn$$ = 8, $CellContext`se$$ = 20}, "ControllerVariables" :> { Hold[$CellContext`se$$, $CellContext`se$458$$, False], Hold[$CellContext`nn$$, $CellContext`nn$459$$, 0], Hold[$CellContext`hh$$, $CellContext`hh$460$$, 0], Hold[$CellContext`mm$$, $CellContext`mm$461$$, 0]}, "OtherVariables" :> { Typeset`show$$, Typeset`bookmarkList$$, Typeset`bookmarkMode$$, Typeset`animator$$, Typeset`animvar$$, Typeset`name$$, Typeset`specs$$, Typeset`size$$, Typeset`update$$, Typeset`initDone$$, Typeset`skipInitDone$$}, "Body" :> ( If[$CellContext`hh$$ > $CellContext`nn$$, $CellContext`hh$$ = \ $CellContext`nn$$]; Which[$CellContext`se$$ == 20, $CellContext`pic2[$CellContext`nn$$, Table[ Part[ $CellContext`d1[$CellContext`nn$$, $CellContext`mm$$ - 1], $CellContext`s], {$CellContext`s, 1, Part[ $CellContext`proc[$CellContext`nn$$], $CellContext`hh$$, 1]}], Table[ Part[ $CellContext`d2[$CellContext`nn$$, $CellContext`mm$$ - 1], $CellContext`u], {$CellContext`u, 1, Part[ $CellContext`proc[$CellContext`nn$$], $CellContext`hh$$, 2]}]], $CellContext`se$$ == 1000, ListPlot[ Part[$CellContext`gg, $CellContext`mm$$ - 1], PlotRange -> {{0, 500}, {0, 500}}, ImageSize -> {350, 350}]]), "Specifications" :> {{{$CellContext`se$$, 20, ""}, { 20 -> "demo", 1000 -> "graph"}, ImageSize -> Tiny}, {{$CellContext`nn$$, 8, "number of players n"}, 2, 20, 1, Enabled -> Dynamic[$CellContext`se$$ === 20], Appearance -> "Labeled", ImageSize -> Tiny}, {{$CellContext`hh$$, 4, "steps (half-stages)"}, 1, Dynamic[$CellContext`nn$$], 1, Enabled -> Dynamic[$CellContext`se$$ === 20], Appearance -> "Labeled", ImageSize -> Tiny}, {{$CellContext`mm$$, 2, "k th"}, 2, 9, 1, Enabled -> Dynamic[$CellContext`se$$ === 20], Appearance -> "Labeled", ImageSize -> Tiny}}, "Options" :> {ControlPlacement -> Left}, "DefaultOptions" :> {}], ImageSizeCache->{618., {200., 205.}}, SingleEvaluation->True], Deinitialization:>None, DynamicModuleValues:>{}, SynchronousInitialization->True, UnsavedVariables:>{Typeset`initDone$$}, UntrackedVariables:>{Typeset`size$$}], "Manipulate", Deployed->True, StripOnInput->False], Manipulate`InterpretManipulate[1]]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{ 3.4216194610242*^9, 3.4216547592096*^9, {3.4216548252444*^9, 3.4216548445572*^9}, 3.423252019140625*^9, {3.42325351421875*^9, 3.423253546*^9}, {3.4233097962068*^9, 3.423309812384*^9}, 3.423561947640625*^9, 3.423581782890625*^9, {3.423634413657*^9, 3.423634418571*^9}, {3.423635300626*^9, 3.423635302229*^9}, { 3.423636115667*^9, 3.423636163814*^9}, {3.423641805737*^9, 3.423641838054*^9}, {3.423642379491*^9, 3.423642389744*^9}, { 3.423722606249*^9, 3.423722650701*^9}, {3.423723367644*^9, 3.423723398727*^9}, 3.423813884432*^9, 3.423814518021*^9, 3.424465645*^9}] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Example.", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " This is the codes of the AVA applet to show how we eliminate numbers in \ the Josephus problems with intersection." }], "Text", CellChangeTimes->{{3.423581818203125*^9, 3.42358183675*^9}, { 3.423582974265625*^9, 3.423582978*^9}, {3.4236426831210003`*^9, 3.423642687926*^9}, {3.423642855618*^9, 3.423642857442*^9}}], Cell["\<\ import java.applet.*; import java.awt.*; import java.awt.event.*; public class crossjose_x extends Applet \timplements ActionListener { \tdouble S,C,S2,C2; \tButton b_con=new Button(\"go forward\"); \tButton b_uncon=new Button(\"go back\"); \tint L; \tint R; \tint k=0; \tprivate TextField box=new TextField(5); \tprivate Label moji=new Label(\"the number of the players\:3000\"); \tprivate TextField box2=new TextField(5); \tprivate Label moji2=new Label(\"every k th\:3000\"); \tprivate Button ok=new Button(\"OK\"); \tpublic void init() \t{ \t\tadd(b_con);\tadd(b_uncon); \t\tb_con.addActionListener(this); \t\tb_uncon.addActionListener(this); \t\tresize(600,600); \t\t \t\tadd(box); \t\tadd(moji); \t\tadd(box2); \t\tadd(moji2); \t\tadd(ok); \t\tok.addActionListener(this); \t} \tpublic void actionPerformed(ActionEvent e) \t{ \t\tString t=box.getText(); \t\tString t2=box2.getText(); \t\tString s=e.getActionCommand(); \t\tif(s==\"go forward\") \t\t{ \t\t\tif(k=0;Bc1--) \t\t\t\t{ \t\t\t\t\tif(con==R)\tbreak; \t\t\t\t\tif(p[Bc1]==1 && Bc1>=1) \t\t\t\t\t{ \t\t\t\t\t\tcon=con+1; \t\t\t\t\t\tcontinue; \t\t\t\t\t} \t\t\t\t\tif(p[Bc1]==1 && Bc1==0) \t\t\t\t\t{ \t\t\t\t\t\tBc1=L; \t\t\t\t\t\tcon=con+1; \t\t\t\t\t\tcontinue; \t\t\t\t\t} \t\t\t\t\tif(p[Bc1]==0 && Bc1==0)\tBc1=L; \t\t\t\t} \t\t\t\tfor(Bc2=Bc1;Bc2>=0;Bc2--) \t\t\t\t{ \t\t\t\t\tif(p[Bc2]==1) \t\t\t\t\t{ \t\t\t\t\t\tp[Bc2]=0; \t\t\t\t\t\tbreak;\t \t\t\t\t\t} \t\t\t\t\tif(Bc2==0)\tBc2=L; \t\t\t\t} \t\t\t\tif(Bc2>=1)\tBc1=Bc2-1; \t\t\t\tif(Bc2==0)\tBc1=L-1; \t\t\t\tg.setColor(Color.blue); \t\t\t\tS2=-Math.sin(2*Math.PI/L*(L-Bc2-1))*L*5; \t\t\t\tC2=Math.cos(2*Math.PI/L*(L-Bc2-1))*L*5; \t\t\t\tg.fillOval(L*10+(int)S2-3, L*10+(int)C2-15, 18, 18); \t\t\t\tif(k==L-1) \t\t\t\t{ \t\t\t\t\tint w=0; \t\t\t\t\tfor(;w<=L-1;w++) \t\t\t\t\t{ \t\t\t\t\t\tif(p[w]==1)\tbreak; \t\t\t\t\t} \t\t \t\t\t\t\tS=-Math.sin(2*Math.PI/L*(L-w-1))*L*5; \t\t\t\t\tC=Math.cos(2*Math.PI/L*(L-w-1))*L*5; \t\t \t\t\t\t\tg.setColor(Color.red); \t\t\t\t\tString N=Integer.toString(w+1); \t\t\t\t\tg.drawString(N,L*10+(int)S, L*10+(int)C);\t\t\t \t\t\t\t} \t\t\t} \t\t\t \t\t} \t\t \t} \t }\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.423581818203125*^9, 3.42358183675*^9}, 3.423582572640625*^9, {3.423642697782*^9, 3.423642771352*^9}, { 3.423642821731*^9, 3.423642830898*^9}}] }, Closed]], Cell[TextData[{ StyleBox["Remark. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], "JI (n,k) has an interesting recursive relation when k = 2. We denot \ JI(n,k) by JI(n)." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.423253063078125*^9, 3.42325309615625*^9}, 3.42325323428125*^9, 3.423581608140625*^9, {3.4235830571875*^9, 3.423583061796875*^9}, {3.423642997443*^9, 3.423642999451*^9}, 3.423643068616*^9, {3.4236436551610003`*^9, 3.42364367344*^9}, { 3.423688280391*^9, 3.423688304968*^9}, {3.4236883561359997`*^9, 3.423688430224*^9}, {3.423688480199*^9, 3.4236884855109997`*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Theorem A. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], "The recursive relations for JI(n)." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.423253063078125*^9, 3.42325309615625*^9}, 3.42325323428125*^9, 3.423581608140625*^9, {3.4235830571875*^9, 3.423583061796875*^9}, {3.423642997443*^9, 3.423642999451*^9}, 3.423643068616*^9, {3.4236436551610003`*^9, 3.42364367344*^9}, { 3.423688280391*^9, 3.4236882986470003`*^9}, {3.423729148267*^9, 3.423729148916*^9}}], Cell["\<\ (1) JI[8 n] = 4 JI[2 n] - 1 - Floor[ JI[2 n]/(n + 1) ] (2) JI[8 n + 1] = 8 n + 5 - 4 JI[2 n] (3) JI[8 n + 2] = 4 JI[2 n] - 3 - Floor[JI[2 n]/(n + 2) ] (4) JI[8 n + 3] = 8 n + 7 - 4 JI[2 n]. (5) JI[8 n + 4] = 8 n + 8 - 4 JI[2 n + 1] + Floor[JI[2 n + 1]/(n + 2) ] (6) JI[8 n + 5] = 4 JI[2 n + 1] - 1. (7) JI[8 n + 6] = 8 n + 10 - 4 JI[2 n + 1] + Floor[JI[2 n + 1]/(n + 2) ] (8) JI[8 n + 7] = 4 JI[2 n + 1] - 3.\ \>", "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.4216172161162*^9, 3.4216172986246*^9}, { 3.4216173723501997`*^9, 3.421617524965*^9}, 3.423253138765625*^9, 3.423253177328125*^9, 3.42325323428125*^9, {3.423253574953125*^9, 3.423253576859375*^9}, {3.423726783094*^9, 3.423726793498*^9}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Example. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " A Mathematica JIR[n] function to calculate JI(n) that is based on the \ recursive relations in Theorem A." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.423253063078125*^9, 3.42325309615625*^9}, 3.42325323428125*^9, 3.423581608140625*^9, {3.4235830571875*^9, 3.423583061796875*^9}, {3.423642997443*^9, 3.423642999451*^9}, 3.423643068616*^9, {3.423717060811*^9, 3.4237170833050003`*^9}, { 3.423717128961*^9, 3.42371713354*^9}, {3.423729152439*^9, 3.423729160297*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", "1", "]"}], "=", "1"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", "2", "]"}], "=", "1"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", "3", "]"}], "=", "3"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", "4", "]"}], "=", "4"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", "m_", "]"}], ":=", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", "m", "]"}], "=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "h"}], "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"h", "=", RowBox[{"Mod", "[", RowBox[{"m", ",", "8"}], "]"}]}], ";", RowBox[{"n", "=", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"m", "-", "h"}], ")"}], "/", "8"}]}], ";", RowBox[{"Which", "[", RowBox[{ RowBox[{"h", "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"4", RowBox[{"JIR", StyleBox["[", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox[ RowBox[{"2", "n"}], FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["]", FontFamily->"Times New Roman"]}]}], StyleBox[" ", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["-", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox[" ", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["1", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox[" ", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["-", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox[" ", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox[ RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{"2", "n"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"n", "+", "1"}], ")"}]}], "]"}], FontFamily->"Times New Roman"]}], StyleBox[",", FontFamily->"Times New Roman"], RowBox[{ StyleBox["h", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["\[Equal]", FontFamily->"Times New Roman"], "1"}], ",", StyleBox[ RowBox[{ RowBox[{"8", "n"}], "+", "5", "-", RowBox[{"4", RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{"2", "n"}], "]"}]}]}], FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox[",", FontFamily->"Times New Roman"], RowBox[{ StyleBox["h", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["\[Equal]", FontFamily->"Times New Roman"], "2"}], ",", StyleBox[" ", FontFamily->"Times New Roman"], RowBox[{ StyleBox[ RowBox[{"4", RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{"2", "n"}], "]"}]}], FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["-", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["3", FontFamily->"Times New Roman"], StyleBox["-", FontFamily->"Times New Roman"], RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{"2", " ", "n"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"n", " ", "+", " ", "2"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"h", "\[Equal]", "3"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", "n"}], "+", "7", "-", RowBox[{"4", RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{"2", "n"}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{"h", "\[Equal]", "4"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", "n"}], "+", "8", "-", RowBox[{"4", RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", "n"}], "+", "1"}], "]"}]}], "+", RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", "n"}], "+", "1"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"n", "+", "2"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"h", "\[Equal]", "5"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"4", RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", "n"}], "+", "1"}], "]"}]}], "-", "1"}], ",", RowBox[{"h", "\[Equal]", "6"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", "n"}], "+", "10", "-", RowBox[{"4", RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", "n"}], "+", "1"}], "]"}]}], "+", RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", "n"}], "+", "1"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"n", "+", "2"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"h", "\[Equal]", "7"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"4", RowBox[{"JIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", "n"}], "+", "1"}], "]"}]}], "-", "3"}]}], "]"}]}]}], "]"}]}]}]}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.423253181390625*^9, 3.42325323428125*^9}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Mathematica", FontSize->14, FontWeight->"Bold", FontSlant->"Italic"], StyleBox[" calculation to prove Theorem A. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " Here we are going to compare two ", StyleBox["Mathematica", FontSlant->"Italic"], " functions JIR[n] and JI[n,k]. \nBy using the above two Mathematica \ functions we can get the following result. It took me 90 seconds to calculate \ aa.\nWhen we know that two list {JI[m,2], m = 1,2,...500} and {JIR[m], m = \ 1,2,...500} are identical, we can be sure that the recursive relations in \ the above theorem is correct." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.423253063078125*^9, 3.42325309615625*^9}, 3.42325323428125*^9, 3.423581608140625*^9, {3.4235830571875*^9, 3.423583061796875*^9}, {3.423642997443*^9, 3.423642999451*^9}, 3.423643068616*^9, {3.423689277803*^9, 3.423689289802*^9}, { 3.423717137326*^9, 3.423717145704*^9}, {3.4237171835810003`*^9, 3.4237172020620003`*^9}, {3.423720607851*^9, 3.423720612466*^9}, { 3.423720659109*^9, 3.42372066041*^9}, 3.423720891158*^9, 3.423721177311*^9, {3.423721230348*^9, 3.42372128498*^9}, { 3.423820914415*^9, 3.4238209575439997`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"aa", "=", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"JI", "[", RowBox[{"m", ",", "2"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"m", ",", "1", ",", "500"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.4215695241184*^9, 3.4215695733676*^9}, { 3.4232532914375*^9, 3.423253300703125*^9}, {3.42325361353125*^9, 3.423253613640625*^9}, 3.4237212034700003`*^9}], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "3", ",", "4", ",", "3", ",", "6", ",", "1", ",", "3", ",", "9", ",", "1", ",", "11", ",", "5", ",", "11", ",", "7", ",", "9", ",", "14", ",", "5", ",", "12", ",", "7", ",", "12", ",", "11", ",", "14", ",", "9", ",", "22", ",", "5", ",", "20", ",", "7", ",", "28", ",", "3", ",", "30", ",", "1", ",", "11", ",", "25", ",", "9", ",", "27", ",", "5", ",", "35", ",", "7", ",", "33", ",", "3", ",", "41", ",", "1", ",", "43", ",", "5", ",", "43", ",", "7", ",", "41", ",", "19", ",", "33", ",", "17", ",", "35", ",", "13", ",", "43", ",", "15", ",", "41", ",", "27", ",", "33", ",", "25", ",", "35", ",", "29", ",", "35", ",", "31", ",", "33", ",", "54", ",", "13", ",", "52", ",", "15", ",", "52", ",", "19", ",", "54", ",", "17", ",", "46", ",", "29", ",", "44", ",", "31", ",", "52", ",", "27", ",", "54", ",", "25", ",", "46", ",", "37", ",", "44", ",", "39", ",", "44", ",", "43", ",", "46", ",", "41", ",", "54", ",", "37", ",", "52", ",", "39", ",", "60", ",", "35", ",", "62", ",", "33", ",", "86", ",", "13", ",", "84", ",", "15", ",", "84", ",", "19", ",", "86", ",", "17", ",", "78", ",", "29", ",", "76", ",", "31", ",", "84", ",", "27", ",", "86", ",", "25", ",", "110", ",", "5", ",", "108", ",", "7", ",", "108", ",", "11", ",", "110", ",", "9", ",", "118", ",", "5", ",", "116", ",", "7", ",", "124", ",", "3", ",", "126", ",", "1", ",", "43", ",", "89", ",", "41", ",", "91", ",", "37", ",", "99", ",", "39", ",", "97", ",", "35", ",", "105", ",", "33", ",", "107", ",", "37", ",", "107", ",", "39", ",", "105", ",", "19", ",", "129", ",", "17", ",", "131", ",", "13", ",", "139", ",", "15", ",", "137", ",", "27", ",", "129", ",", "25", ",", "131", ",", "29", ",", "131", ",", "31", ",", "129", ",", "11", ",", "153", ",", "9", ",", "155", ",", "5", ",", "163", ",", "7", ",", "161", ",", "3", ",", "169", ",", "1", ",", "171", ",", "5", ",", "171", ",", "7", ",", "169", ",", "19", ",", "161", ",", "17", ",", "163", ",", "13", ",", "171", ",", "15", ",", "169", ",", "27", ",", "161", ",", "25", ",", "163", ",", "29", ",", "163", ",", "31", ",", "161", ",", "75", ",", "121", ",", "73", ",", "123", ",", "69", ",", "131", ",", "71", ",", "129", ",", "67", ",", "137", ",", "65", ",", "139", ",", "69", ",", "139", ",", "71", ",", "137", ",", "51", ",", "161", ",", "49", ",", "163", ",", "45", ",", "171", ",", "47", ",", "169", ",", "59", ",", "161", ",", "57", ",", "163", ",", "61", ",", "163", ",", "63", ",", "161", ",", "107", ",", "121", ",", "105", ",", "123", ",", "101", ",", "131", ",", "103", ",", "129", ",", "99", ",", "137", ",", "97", ",", "139", ",", "101", ",", "139", ",", "103", ",", "137", ",", "115", ",", "129", ",", "113", ",", "131", ",", "109", ",", "139", ",", "111", ",", "137", ",", "123", ",", "129", ",", "121", ",", "131", ",", "125", ",", "131", ",", "127", ",", "129", ",", "214", ",", "45", ",", "212", ",", "47", ",", "212", ",", "51", ",", "214", ",", "49", ",", "206", ",", "61", ",", "204", ",", "63", ",", "212", ",", "59", ",", "214", ",", "57", ",", "206", ",", "69", ",", "204", ",", "71", ",", "204", ",", "75", ",", "206", ",", "73", ",", "214", ",", "69", ",", "212", ",", "71", ",", "220", ",", "67", ",", "222", ",", "65", ",", "182", ",", "109", ",", "180", ",", "111", ",", "180", ",", "115", ",", "182", ",", "113", ",", "174", ",", "125", ",", "172", ",", "127", ",", "180", ",", "123", ",", "182", ",", "121", ",", "206", ",", "101", ",", "204", ",", "103", ",", "204", ",", "107", ",", "206", ",", "105", ",", "214", ",", "101", ",", "212", ",", "103", ",", "220", ",", "99", ",", "222", ",", "97", ",", "182", ",", "141", ",", "180", ",", "143", ",", "180", ",", "147", ",", "182", ",", "145", ",", "174", ",", "157", ",", "172", ",", "159", ",", "180", ",", "155", ",", "182", ",", "153", ",", "174", ",", "165", ",", "172", ",", "167", ",", "172", ",", "171", ",", "174", ",", "169", ",", "182", ",", "165", ",", "180", ",", "167", ",", "188", ",", "163", ",", "190", ",", "161", ",", "214", ",", "141", ",", "212", ",", "143", ",", "212", ",", "147", ",", "214", ",", "145", ",", "206", ",", "157", ",", "204", ",", "159", ",", "212", ",", "155", ",", "214", ",", "153", ",", "238", ",", "133", ",", "236", ",", "135", ",", "236", ",", "139", ",", "238", ",", "137", ",", "246", ",", "133", ",", "244", ",", "135", ",", "252", ",", "131", ",", "254", ",", "129", ",", "342", ",", "45", ",", "340", ",", "47", ",", "340", ",", "51", ",", "342", ",", "49", ",", "334", ",", "61", ",", "332", ",", "63", ",", "340", ",", "59", ",", "342", ",", "57", ",", "334", ",", "69", ",", "332", ",", "71", ",", "332", ",", "75", ",", "334", ",", "73", ",", "342", ",", "69", ",", "340", ",", "71", ",", "348", ",", "67", ",", "350", ",", "65", ",", "310", ",", "109", ",", "308", ",", "111", ",", "308", ",", "115", ",", "310", ",", "113", ",", "302", ",", "125", ",", "300", ",", "127", ",", "308", ",", "123", ",", "310", ",", "121", ",", "334", ",", "101", ",", "332", ",", "103", ",", "332", ",", "107", ",", "334", ",", "105", ",", "342", ",", "101", ",", "340", ",", "103", ",", "348", ",", "99", ",", "350", ",", "97", ",", "438", ",", "13", ",", "436", ",", "15", ",", "436", ",", "19", ",", "438", ",", "17", ",", "430", ",", "29", ",", "428", ",", "31", ",", "436", ",", "27", ",", "438", ",", "25", ",", "430", ",", "37", ",", "428", ",", "39", ",", "428", ",", "43", ",", "430", ",", "41", ",", "438", ",", "37", ",", "436", ",", "39", ",", "444", ",", "35", ",", "446", ",", "33", ",", "470", ",", "13", ",", "468", ",", "15", ",", "468", ",", "19", ",", "470", ",", "17", ",", "462", ",", "29", ",", "460", ",", "31", ",", "468", ",", "27", ",", "470", ",", "25", ",", "494", ",", "5", ",", "492", ",", "7", ",", "492"}], "}"}]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{3.421989519993*^9, 3.4232532914375*^9, 3.42325362090625*^9, 3.423254633828125*^9, 3.42372121525*^9}], Cell[BoxData[ RowBox[{"aa2", " ", "=", " ", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", "m", "]"}], ",", " ", RowBox[{"{", RowBox[{"m", ",", " ", "1", ",", " ", "500"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input",\ CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.4215695828368*^9, 3.4215695858788*^9}, 3.4216125340584*^9, {3.4219895259834003`*^9, 3.421989528885*^9}, 3.4232532914375*^9, {3.423253606796875*^9, 3.423253609859375*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "3", ",", "4", ",", "3", ",", "6", ",", "1", ",", "3", ",", "9", ",", "1", ",", "11", ",", "5", ",", "11", ",", "7", ",", "9", ",", "14", ",", "5", ",", "12", ",", "7", ",", "12", ",", "11", ",", "14", ",", "9", ",", "22", ",", "5", ",", "20", ",", "7", ",", "28", ",", "3", ",", "30", ",", "1", ",", "11", ",", "25", ",", "9", ",", "27", ",", "5", ",", "35", ",", "7", ",", "33", ",", "3", ",", "41", ",", "1", ",", "43", ",", "5", ",", "43", ",", "7", ",", "41", ",", "19", ",", "33", ",", "17", ",", "35", ",", "13", ",", "43", ",", "15", ",", "41", ",", "27", ",", "33", ",", "25", ",", "35", ",", "29", ",", "35", ",", "31", ",", "33", ",", "54", ",", "13", ",", "52", ",", "15", ",", "52", ",", "19", ",", "54", ",", "17", ",", "46", ",", "29", ",", "44", ",", "31", ",", "52", ",", "27", ",", "54", ",", "25", ",", "46", ",", "37", ",", "44", ",", "39", ",", "44", ",", "43", ",", "46", ",", "41", ",", "54", ",", "37", ",", "52", ",", "39", ",", "60", ",", "35", ",", "62", ",", "33", ",", "86", ",", "13", ",", "84", ",", "15", ",", "84", ",", "19", ",", "86", ",", "17", ",", "78", ",", "29", ",", "76", ",", "31", ",", "84", ",", "27", ",", "86", ",", "25", ",", "110", ",", "5", ",", "108", ",", "7", ",", "108", ",", "11", ",", "110", ",", "9", ",", "118", ",", "5", ",", "116", ",", "7", ",", "124", ",", "3", ",", "126", ",", "1", ",", "43", ",", "89", ",", "41", ",", "91", ",", "37", ",", "99", ",", "39", ",", "97", ",", "35", ",", "105", ",", "33", ",", "107", ",", "37", ",", "107", ",", "39", ",", "105", ",", "19", ",", "129", ",", "17", ",", "131", ",", "13", ",", "139", ",", "15", ",", "137", ",", "27", ",", "129", ",", "25", ",", "131", ",", "29", ",", "131", ",", "31", ",", "129", ",", "11", ",", "153", ",", "9", ",", "155", ",", "5", ",", "163", ",", "7", ",", "161", ",", "3", ",", "169", ",", "1", ",", "171", ",", "5", ",", "171", ",", "7", ",", "169", ",", "19", ",", "161", ",", "17", ",", "163", ",", "13", ",", "171", ",", "15", ",", "169", ",", "27", ",", "161", ",", "25", ",", "163", ",", "29", ",", "163", ",", "31", ",", "161", ",", "75", ",", "121", ",", "73", ",", "123", ",", "69", ",", "131", ",", "71", ",", "129", ",", "67", ",", "137", ",", "65", ",", "139", ",", "69", ",", "139", ",", "71", ",", "137", ",", "51", ",", "161", ",", "49", ",", "163", ",", "45", ",", "171", ",", "47", ",", "169", ",", "59", ",", "161", ",", "57", ",", "163", ",", "61", ",", "163", ",", "63", ",", "161", ",", "107", ",", "121", ",", "105", ",", "123", ",", "101", ",", "131", ",", "103", ",", "129", ",", "99", ",", "137", ",", "97", ",", "139", ",", "101", ",", "139", ",", "103", ",", "137", ",", "115", ",", "129", ",", "113", ",", "131", ",", "109", ",", "139", ",", "111", ",", "137", ",", "123", ",", "129", ",", "121", ",", "131", ",", "125", ",", "131", ",", "127", ",", "129", ",", "214", ",", "45", ",", "212", ",", "47", ",", "212", ",", "51", ",", "214", ",", "49", ",", "206", ",", "61", ",", "204", ",", "63", ",", "212", ",", "59", ",", "214", ",", "57", ",", "206", ",", "69", ",", "204", ",", "71", ",", "204", ",", "75", ",", "206", ",", "73", ",", "214", ",", "69", ",", "212", ",", "71", ",", "220", ",", "67", ",", "222", ",", "65", ",", "182", ",", "109", ",", "180", ",", "111", ",", "180", ",", "115", ",", "182", ",", "113", ",", "174", ",", "125", ",", "172", ",", "127", ",", "180", ",", "123", ",", "182", ",", "121", ",", "206", ",", "101", ",", "204", ",", "103", ",", "204", ",", "107", ",", "206", ",", "105", ",", "214", ",", "101", ",", "212", ",", "103", ",", "220", ",", "99", ",", "222", ",", "97", ",", "182", ",", "141", ",", "180", ",", "143", ",", "180", ",", "147", ",", "182", ",", "145", ",", "174", ",", "157", ",", "172", ",", "159", ",", "180", ",", "155", ",", "182", ",", "153", ",", "174", ",", "165", ",", "172", ",", "167", ",", "172", ",", "171", ",", "174", ",", "169", ",", "182", ",", "165", ",", "180", ",", "167", ",", "188", ",", "163", ",", "190", ",", "161", ",", "214", ",", "141", ",", "212", ",", "143", ",", "212", ",", "147", ",", "214", ",", "145", ",", "206", ",", "157", ",", "204", ",", "159", ",", "212", ",", "155", ",", "214", ",", "153", ",", "238", ",", "133", ",", "236", ",", "135", ",", "236", ",", "139", ",", "238", ",", "137", ",", "246", ",", "133", ",", "244", ",", "135", ",", "252", ",", "131", ",", "254", ",", "129", ",", "342", ",", "45", ",", "340", ",", "47", ",", "340", ",", "51", ",", "342", ",", "49", ",", "334", ",", "61", ",", "332", ",", "63", ",", "340", ",", "59", ",", "342", ",", "57", ",", "334", ",", "69", ",", "332", ",", "71", ",", "332", ",", "75", ",", "334", ",", "73", ",", "342", ",", "69", ",", "340", ",", "71", ",", "348", ",", "67", ",", "350", ",", "65", ",", "310", ",", "109", ",", "308", ",", "111", ",", "308", ",", "115", ",", "310", ",", "113", ",", "302", ",", "125", ",", "300", ",", "127", ",", "308", ",", "123", ",", "310", ",", "121", ",", "334", ",", "101", ",", "332", ",", "103", ",", "332", ",", "107", ",", "334", ",", "105", ",", "342", ",", "101", ",", "340", ",", "103", ",", "348", ",", "99", ",", "350", ",", "97", ",", "438", ",", "13", ",", "436", ",", "15", ",", "436", ",", "19", ",", "438", ",", "17", ",", "430", ",", "29", ",", "428", ",", "31", ",", "436", ",", "27", ",", "438", ",", "25", ",", "430", ",", "37", ",", "428", ",", "39", ",", "428", ",", "43", ",", "430", ",", "41", ",", "438", ",", "37", ",", "436", ",", "39", ",", "444", ",", "35", ",", "446", ",", "33", ",", "470", ",", "13", ",", "468", ",", "15", ",", "468", ",", "19", ",", "470", ",", "17", ",", "462", ",", "29", ",", "460", ",", "31", ",", "468", ",", "27", ",", "470", ",", "25", ",", "494", ",", "5", ",", "492", ",", "7", ",", "492"}], "}"}]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{ 3.4219895469966*^9, 3.4232532914375*^9, 3.42325362096875*^9, 3.4232546450625*^9, {3.42372130295*^9, 3.423721315591*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Union", "[", RowBox[{"aa", "-", "aa2"}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.4219895507874002`*^9, 3.4219895648274*^9}, 3.4232532914375*^9}], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", "0", "}"}]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.4219895556233997`*^9, 3.4219895673078003`*^9}, 3.4232532914375*^9, 3.423253635640625*^9, 3.423254655734375*^9, 3.423721318637*^9}] }, Closed]], Cell["We have the following conjecture for the function JI (m).", "Text", CellChangeTimes->{{3.423725806302*^9, 3.423725806995*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Example. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " The function JI(m) has the following remarkable property. As to the \ concrete data of the conjecture, see the following calculation by ", StyleBox["Mathematica", FontSlant->"Italic"], " function JIR[n]." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.423253063078125*^9, 3.42325309615625*^9}, 3.42325323428125*^9, 3.423581608140625*^9, {3.4235830571875*^9, 3.423583061796875*^9}, {3.423642997443*^9, 3.423642999451*^9}, 3.423643068616*^9, {3.423717060811*^9, 3.4237170833050003`*^9}, { 3.423717128961*^9, 3.42371713354*^9}, {3.4237257674049997`*^9, 3.423725801006*^9}, {3.423726934483*^9, 3.42372697266*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"Mod", "[", RowBox[{"2", ",", RowBox[{"JI", RowBox[{"(", "m", ")"}]}]}], "]"}], "=", RowBox[{ TagBox[ StyleBox[ RowBox[{"{", StyleBox[" ", ShowAutoStyles->True]}], ShowAutoStyles->False], #& ], GridBox[{ {"0", RowBox[{" ", RowBox[{ RowBox[{"if", " ", "m", " ", "is", " ", "even", " ", "and", " ", SuperscriptBox["2", RowBox[{"2", "n"}]]}], "\[LessEqual]", "m", "<", SuperscriptBox["2", RowBox[{ RowBox[{"2", "n"}], "+", "1"}]]}]}]}, {"1", "otherwise"} }]}]}]], "Text", CellChangeTimes->{{3.4235834724375*^9, 3.4235835933125*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"Mod", "[", RowBox[{ RowBox[{"JIR", "[", "n", "]"}], ",", "2"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", " ", ",", "256"}], "}"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4237260222469997`*^9, 3.423726029514*^9}, { 3.42372681209*^9, 3.423726846349*^9}, {3.4237269094119997`*^9, 3.423726914217*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "0", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "1", ",", "0"}], "}"}]], "Output", CellChangeTimes->{3.4237269158310003`*^9, 3.423814694476*^9}] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Example.", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " We calculated JI(n) using C++ program, and we found out that Conjecture \ is correct for n = 1,2,...100000. The following is the C++ codes for the \ calculation." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10003.}, CellChangeTimes->{{3.423253672359375*^9, 3.423253694*^9}, { 3.4232537371875*^9, 3.423253743890625*^9}, {3.42358164021875*^9, 3.423581640953125*^9}, {3.42358365084375*^9, 3.42358366109375*^9}, { 3.4237235212679996`*^9, 3.423723524021*^9}, {3.4237241943269997`*^9, 3.423724212009*^9}}], Cell["\<\ #include #include using namespace std; int naitoucheck(int player); int main(void) { int interbal=1, player=2, endplayer=1000000, times; vector players; while(player <= endplayer) { players.assign(player,true); times=0; int right=player-1, left=0, counter=0; while(times < player-1) { if(times%2==0) { if(left > player-1) left=0; if(players[left]==true) counter++; if(counter <= interbal) {left++; continue;} players[left] = false; counter=0; left++; } else { if(right < 0) right=player-1; if(players[right]==true) counter++; if(counter <= interbal) {right--; continue;} players[right] = false; counter=0; right--; } times++; } int i; for(i=0; i", "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10003.}, CellChangeTimes->{{3.42325370840625*^9, 3.4232537371875*^9}, { 3.423723468223*^9, 3.423723509*^9}}] }, Open ]], Cell["Section 3. Linear Josephus Problems with an intersection.", "Section", CellChangeTimes->{{3.4233103945968*^9, 3.4233104120844*^9}, { 3.42362690835*^9, 3.423626911675*^9}, {3.4236340998529997`*^9, 3.42363413476*^9}, 3.423634180264*^9, {3.4236437293529997`*^9, 3.423643736736*^9}}], Cell["\<\ This is another variant of the Josephus problem.Let n and k be natural \ numbers. We put n numbers on a line.Two numbers are to be eliminated at the \ same time, but two processes of elimination go for different directions.Then \ the \[FiLigature]rst process of elimination starts with the 1 st number and \ the k nd, 2k th number, ... are to be eliminated.The second process starts \ with the n - th number, and the (n \:2212 k+1) - th, (n \:2212 2k+1) - th \ number, ... are to be eliminated.We suppose that the \[FiLigature]rst process \ comes \[FiLigature]rst and the second process second at every stage.We change \ the direction when we reach the end of the line.Then we begin removing every \ second number again.We denote the position of the last number that remains by \ JLI(n,k). \ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.42358373121875*^9, 3.423583741046875*^9}, { 3.423633485564*^9, 3.42363348826*^9}, {3.423722316741*^9, 3.423722359293*^9}, {3.423724059392*^9, 3.423724090962*^9}}], Cell[TextData[{ StyleBox["Example. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], "This is a Mathematica function to calculate JLI(n,k). It is based on a \ very simple algorithm. You can calculate JLI(n,k) by JLI[n,k]." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellChangeTimes->{{3.4232529138125*^9, 3.423252967765625*^9}, { 3.423581506265625*^9, 3.42358150746875*^9}, 3.423582806515625*^9, { 3.423635091385*^9, 3.423635093983*^9}, {3.423635260757*^9, 3.423635262825*^9}, {3.423642345561*^9, 3.4236423479379997`*^9}, { 3.423688183528*^9, 3.423688217108*^9}, {3.423820863586*^9, 3.4238208935559998`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"JLI", "[", RowBox[{"n_", ",", "mm_"}], "]"}], ":=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"p", ",", "q", ",", "u", ",", "pp", ",", "rs"}], "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"rs", "=", RowBox[{"mm", "-", "1"}]}], ";", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"n", ">", "1"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ RowBox[{"Range", "[", "n", "]"}], ",", RowBox[{"Sort", "[", RowBox[{ RowBox[{"Table", "[", RowBox[{"m", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"m", ",", "2", ",", RowBox[{"n", "-", "1"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", "Greater"}], "]"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Reverse", "[", RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ RowBox[{"Reverse", "[", RowBox[{"Range", "[", "n", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{"k", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"k", ",", "2", ",", RowBox[{"n", "-", "1"}]}], "}"}]}], "]"}]}], "]"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"u1", "=", RowBox[{"First", "[", "p", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"u2", "=", RowBox[{"First", "[", RowBox[{"RotateLeft", "[", RowBox[{"p", ",", "1"}], "]"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"u1", "\[Equal]", "u2"}], ",", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"RotateLeft", "[", RowBox[{"p", ",", "2"}], "]"}]}], ",", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"RotateLeft", "[", RowBox[{"p", ",", "1"}], "]"}]}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"s", ",", "1", ",", "rs"}], "}"}]}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"u", "=", RowBox[{"First", "[", "p", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Rest", "[", "p", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"MemberQ", "[", RowBox[{"p", ",", "u"}], "]"}], ",", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Delete", "[", RowBox[{"p", ",", RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"p", ",", "u"}], "]"}]}], "]"}]}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"MemberQ", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}], ",", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Delete", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}]}], "]"}]}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", RowBox[{"Union", "[", "p", "]"}], "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Break", "[", "]"}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"Do", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"u1", "=", RowBox[{"Last", "[", "q", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"u2", "=", RowBox[{"Last", "[", RowBox[{"RotateRight", "[", RowBox[{"q", ",", "1"}], "]"}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"u1", "\[Equal]", "u2"}], ",", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"RotateRight", "[", RowBox[{"q", ",", "2"}], "]"}]}], ",", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"RotateRight", "[", RowBox[{"q", ",", "1"}], "]"}]}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"s", ",", "1", ",", "rs"}], "}"}]}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"u", "=", RowBox[{"Last", "[", "q", "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Drop", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{"-", "1"}]}], "]"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"MemberQ", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}], ",", RowBox[{"q", "=", RowBox[{"Delete", "[", RowBox[{"q", ",", RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"q", ",", "u"}], "]"}]}], "]"}]}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{"MemberQ", "[", RowBox[{"p", ",", "u"}], "]"}], ",", RowBox[{"p", "=", RowBox[{"Delete", "[", RowBox[{"p", ",", RowBox[{"Position", "[", RowBox[{"p", ",", "u"}], "]"}]}], "]"}]}], ","}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"If", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Length", "[", RowBox[{"Union", "[", "q", "]"}], "]"}], "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{"Break", "[", "]"}], ","}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"t", ",", "1", ",", RowBox[{"Ceiling", "[", RowBox[{"n", "/", "2"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"pp", "=", RowBox[{"p", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{"pp", "=", "1"}]}], "]"}], ";", "pp"}]}], "]"}]}], ";"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{ 3.4232542134375*^9, {3.423254328765625*^9, 3.423254345375*^9}, { 3.423717520186*^9, 3.423717533308*^9}, {3.423717702858*^9, 3.423717712949*^9}, {3.423717801149*^9, 3.423717821979*^9}, { 3.4237179579969997`*^9, 3.423717967084*^9}, {3.4238025377980003`*^9, 3.423802538002*^9}}], Cell[TextData[{ StyleBox["Remark.", FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], " If the following Demonstration does not work properly, please activate \ Initialization Codes at the beginning of this article." }], "Text", CellChangeTimes->{{3.423820532283*^9, 3.4238206026219997`*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Example.", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " This is a Mathematica Demonstration to show how to eliminate numbers in \ the Linear Josephus problems with intersection" }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10005.}, CellChangeTimes->{{3.423255517046875*^9, 3.4232555358125*^9}, 3.42325562365625*^9, {3.4235817275*^9, 3.423581732125*^9}, { 3.423583684953125*^9, 3.42358369940625*^9}, 3.423721342635*^9, { 3.423727401248*^9, 3.423727403098*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Manipulate", "[", RowBox[{ RowBox[{"gr2", "[", RowBox[{"nn", ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"d12", "[", RowBox[{"nn", ",", "rs"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "s", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"s", ",", "1", ",", RowBox[{ RowBox[{"proc", "[", "nn", "]"}], "[", RowBox[{"[", RowBox[{ RowBox[{"hh", "+", "1"}], ",", "1"}], "]"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"d22", "[", RowBox[{"nn", ",", "rs"}], "]"}], "[", RowBox[{"[", "u", "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"u", ",", "1", ",", RowBox[{ RowBox[{"proc", "[", "nn", "]"}], "[", RowBox[{"[", RowBox[{ RowBox[{"hh", "+", "1"}], ",", "2"}], "]"}], "]"}]}], "}"}]}], "]"}]}], "]"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"rs", ",", "1", ",", "\"\< th player\>\""}], "}"}], ",", "1", ",", "nn", ",", "1", ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "Tiny"}]}], "}"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"nn", ",", "8", ",", "\"\\""}], "}"}], ",", "2", ",", "20", ",", "2", ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "Tiny"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"hh", ",", "0", ",", "\"\\""}], "}"}], ",", "0", ",", RowBox[{"nn", "-", "1"}], ",", "1", ",", RowBox[{"ImageSize", "\[Rule]", "Tiny"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"SaveDefinitions", "\[Rule]", "True"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4007561242874002`*^9, 3.4007562034105997`*^9}, { 3.4007565397818003`*^9, 3.4007566153482*^9}, 3.4007906368844*^9, { 3.4007912984648*^9, 3.4007913193688*^9}, 3.4238215452209997`*^9, { 3.423821704696*^9, 3.4238217262539997`*^9}, 3.4238219949700003`*^9}], Cell[BoxData[ TagBox[ StyleBox[ DynamicModuleBox[{$CellContext`hh$$ = 19, $CellContext`nn$$ = 20, $CellContext`rs$$ = 1, Typeset`show$$ = True, Typeset`bookmarkList$$ = {}, Typeset`bookmarkMode$$ = "Menu", Typeset`animator$$, Typeset`animvar$$ = 1, Typeset`name$$ = "\"untitled\"", Typeset`specs$$ = {{{ Hold[$CellContext`rs$$], 1, " th player"}, 1, Dynamic[$CellContext`nn$$], 1}, {{ Hold[$CellContext`nn$$], 8, "number of players"}, 2, 20, 2}, {{ Hold[$CellContext`hh$$], 0, "number of steps"}, 0, Dynamic[$CellContext`nn$$ - 1], 1}}, Typeset`size$$ = { 350., {123., 127.}}, Typeset`update$$ = 0, Typeset`initDone$$, Typeset`skipInitDone$$ = False, $CellContext`rs$1515$$ = 0, $CellContext`nn$1516$$ = 0, $CellContext`hh$1517$$ = 0}, DynamicBox[Manipulate`ManipulateBoxes[ 1, StandardForm, "Variables" :> {$CellContext`hh$$ = 0, $CellContext`nn$$ = 8, $CellContext`rs$$ = 1}, "ControllerVariables" :> { Hold[$CellContext`rs$$, $CellContext`rs$1515$$, 0], Hold[$CellContext`nn$$, $CellContext`nn$1516$$, 0], Hold[$CellContext`hh$$, $CellContext`hh$1517$$, 0]}, "OtherVariables" :> { Typeset`show$$, Typeset`bookmarkList$$, Typeset`bookmarkMode$$, Typeset`animator$$, Typeset`animvar$$, Typeset`name$$, Typeset`specs$$, Typeset`size$$, Typeset`update$$, Typeset`initDone$$, Typeset`skipInitDone$$}, "Body" :> $CellContext`gr2[$CellContext`nn$$, Table[ Part[ $CellContext`d12[$CellContext`nn$$, $CellContext`rs$$], \ $CellContext`s], {$CellContext`s, 1, Part[ $CellContext`proc[$CellContext`nn$$], $CellContext`hh$$ + 1, 1]}], Table[ Part[ $CellContext`d22[$CellContext`nn$$, $CellContext`rs$$], \ $CellContext`u], {$CellContext`u, 1, Part[ $CellContext`proc[$CellContext`nn$$], $CellContext`hh$$ + 1, 2]}]], "Specifications" :> {{{$CellContext`rs$$, 1, " th player"}, 1, Dynamic[$CellContext`nn$$], 1, ImageSize -> Tiny}, {{$CellContext`nn$$, 8, "number of players"}, 2, 20, 2, ImageSize -> Tiny}, {{$CellContext`hh$$, 0, "number of steps"}, 0, Dynamic[$CellContext`nn$$ - 1], 1, ImageSize -> Tiny}}, "Options" :> {}, "DefaultOptions" :> {}], ImageSizeCache->{396., {181., 186.}}, SingleEvaluation->True], Deinitialization:>None, DynamicModuleValues:>{}, Initialization:>({$CellContext`gr2[ Pattern[$CellContext`m$, Blank[]], Pattern[$CellContext`x$, Blank[List]], Pattern[$CellContext`y$, Blank[List]]] := Block[{$CellContext`num = $CellContext`m$}, $CellContext`la = Complement[ Range[$CellContext`num], $CellContext`x$, $CellContext`y$]; \ $CellContext`haba = 0.5; $CellContext`pp = Table[FE`nn$$186, { FE`nn$$186, 1, $CellContext`num}]; $CellContext`qq = $CellContext`x$; \ $CellContext`rr = $CellContext`y$; Show[ Graphics[ Evaluate[{{ GrayLevel[1], Disk[{$CellContext`num + 1, 1}, 0.4]}, { GrayLevel[1], Disk[{0, 1}, 0.4]}, Table[{ GrayLevel[0.9], Disk[{ Part[$CellContext`qq, $CellContext`n], 1}, 0.4]}, {$CellContext`n, 1, Length[$CellContext`qq]}], Table[{ GrayLevel[0.2], Disk[{ Part[$CellContext`rr, $CellContext`n], 1}, 0.4]}, {$CellContext`n, 1, Length[$CellContext`rr]}], { If[Length[$CellContext`la] == 1, Hue[0.4], RGBColor[1, 1, 1]], Circle[{ Part[$CellContext`la, 1], 1}, 0.4]}, Table[{ GrayLevel[0.6], Text[ Part[$CellContext`pp, $CellContext`n], { Part[$CellContext`pp, $CellContext`n], 1}]}, {$CellContext`n, 1, Length[$CellContext`pp]}]}], ImageSize -> {350, 250}]]], Attributes[$CellContext`m$] = {Temporary}, Attributes[$CellContext`x$] = {Temporary}, Attributes[$CellContext`y$] = {Temporary}, $CellContext`la = { 9}, $CellContext`haba = 0.5, $CellContext`pp = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, FE`nn$$186 = 8, $CellContext`qq = {3, 6, 10, 5, 1}, $CellContext`rr = {8, 4, 2, 7}, $CellContext`d12[ Pattern[$CellContext`k, Blank[]], Pattern[$CellContext`r, Blank[]]] := Part[ $CellContext`jLintersection[$CellContext`k, $CellContext`r], 1], $CellContext`k = 5, $CellContext`jLintersection[ Pattern[$CellContext`n, Blank[]], Pattern[$CellContext`rs, Blank[]]] := Block[{$CellContext`p, $CellContext`q, $CellContext`u}, \ $CellContext`elim = {}; $CellContext`elim2 = {}; $CellContext`p = Join[ Range[$CellContext`n], Sort[ Table[$CellContext`m, {$CellContext`m, 2, $CellContext`n - 1}], Greater]]; $CellContext`q = Reverse[ Join[ Reverse[ Range[$CellContext`n]], Table[$CellContext`k, {$CellContext`k, 2, $CellContext`n - 1}]]]; Do[Do[$CellContext`u1 = First[$CellContext`p]; $CellContext`u2 = First[ RotateLeft[$CellContext`p, 1]]; If[$CellContext`u1 == $CellContext`u2, $CellContext`p = RotateLeft[$CellContext`p, 2], $CellContext`p = RotateLeft[$CellContext`p, 1]], {$CellContext`s, 1, $CellContext`rs}]; $CellContext`u = First[$CellContext`p]; $CellContext`p = Rest[$CellContext`p]; $CellContext`elim = Append[$CellContext`elim, $CellContext`u]; If[ MemberQ[$CellContext`p, $CellContext`u], $CellContext`p = Delete[$CellContext`p, Position[$CellContext`p, $CellContext`u]], Null]; If[ MemberQ[$CellContext`q, $CellContext`u], $CellContext`q = Delete[$CellContext`q, Position[$CellContext`q, $CellContext`u]], Null]; If[Length[$CellContext`p] == 1, Break[], Null]; Do[$CellContext`u1 = Last[$CellContext`q]; $CellContext`u2 = Last[ RotateRight[$CellContext`q, 1]]; If[$CellContext`u1 == $CellContext`u2, $CellContext`q = RotateRight[$CellContext`q, 2], $CellContext`q = RotateRight[$CellContext`q, 1]], {$CellContext`s, 1, $CellContext`rs}]; $CellContext`u = Last[$CellContext`q]; $CellContext`q = Drop[$CellContext`q, -1]; $CellContext`elim2 = Append[$CellContext`elim2, $CellContext`u]; If[ MemberQ[$CellContext`q, $CellContext`u], $CellContext`q = Delete[$CellContext`q, Position[$CellContext`q, $CellContext`u]], Null]; If[ MemberQ[$CellContext`p, $CellContext`u], $CellContext`p = Delete[$CellContext`p, Position[$CellContext`p, $CellContext`u]], Null]; If[Length[$CellContext`q] == 1, Break[], Null], {$CellContext`t, 1, Ceiling[$CellContext`n/ 2]}]; {$CellContext`elim, $CellContext`elim2}], $CellContext`p = \ {11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, $CellContext`q = {4, 8, 8, 2}, $CellContext`u = 8, $CellContext`elim = {3, 6, 10, 5, 1}, $CellContext`elim2 = {8, 4, 2, 7, 9}, $CellContext`m = 63, $CellContext`u1 = 9, $CellContext`u2 = 9, $CellContext`s = {{17}, {113}, {305}, {497}, {1265}, {1585}, { 1841}, {2033}, {4657}, {4913}, {5105}, {6385}, {7409}, {7729}, { 7985}, {8177}, {18673}, {19697}, {20017}, {20273}, {20465}, {25137}, { 25393}, {25585}, {29233}, {29489}, {29681}}, $CellContext`proc[ Pattern[$CellContext`n2, Blank[]]] := Block[{$CellContext`pp}, $CellContext`pp = {{0, 0}, {1, 0}}; $CellContext`k = 1; $CellContext`h = 0; Do[$CellContext`h = $CellContext`h + 1; $CellContext`pp = Append[$CellContext`pp, {$CellContext`k, $CellContext`h}]; \ $CellContext`k = $CellContext`k + 1; $CellContext`pp = Append[$CellContext`pp, {$CellContext`k, $CellContext`h}], \ {$CellContext`ss, Floor[$CellContext`n2/2 - 1]}]; If[ OddQ[$CellContext`n2], $CellContext`h = $CellContext`h + 1; $CellContext`pp = Append[$CellContext`pp, {$CellContext`k, $CellContext`h}], Null]; $CellContext`pp], $CellContext`h = 4, $CellContext`d22[ Pattern[$CellContext`k, Blank[]], Pattern[$CellContext`r, Blank[]]] := Part[ $CellContext`jLintersection[$CellContext`k, $CellContext`r], 2]}; Typeset`initDone$$ = True), SynchronousInitialization->True, UnsavedVariables:>{Typeset`initDone$$}, UntrackedVariables:>{Typeset`size$$}], "Manipulate", Deployed->True, StripOnInput->False], Manipulate`InterpretManipulate[1]]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10005.}, CellChangeTimes->{{3.423255575171875*^9, 3.42325562365625*^9}, { 3.423309882584*^9, 3.4233098894168*^9}, {3.423726295611*^9, 3.423726304481*^9}, {3.42381470829*^9, 3.4238147615179996`*^9}, { 3.423814797974*^9, 3.423814807599*^9}, 3.423816130678*^9, { 3.423816185777*^9, 3.4238161974890003`*^9}, {3.423821178392*^9, 3.4238211788719997`*^9}, {3.423821456508*^9, 3.423821594267*^9}, { 3.4238217286870003`*^9, 3.423821761207*^9}, {3.4238219970290003`*^9, 3.423822019634*^9}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Theorem B. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], "The recursive relations for JLI(n) = JLI(n,2)." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.423253063078125*^9, 3.42325309615625*^9}, 3.42325323428125*^9, 3.423581608140625*^9, {3.4235830571875*^9, 3.423583061796875*^9}, {3.423642997443*^9, 3.423642999451*^9}, 3.423643068616*^9, {3.4236436551610003`*^9, 3.42364367344*^9}, { 3.423688280391*^9, 3.4236882986470003`*^9}, {3.4237289341280003`*^9, 3.42372894309*^9}, {3.423729173448*^9, 3.423729176461*^9}}], Cell["\<\ (1) JLI(8n) = 8n+2-4JLI(2n)+ Floor[ JLI(2n)/(n+1) ]. (2) JLI(8n+1) = 8n+5-4JLI(2n+1). (3) JLI(8n+2) = 4JLI(2n+1)-3- Floor[ JLI(2n+1)/(n+2) ]. (4) JLI(8n+3) = 8n+7-4JLI(2n+1). (5) JLI(8n+4) =8n+8-4JLI(2n+2)+ Floor[ JLI(2n+2)/(n+2) ]. (6) JLI(8n+5) = 8n+7-4JLI(2n+1). (7) JLI(8n+6) = 8n+10-4JLI(2n+2)+ Floor[ (JLI(2n+2)/(n+2)]. (8) JLI(8n+7) = 4JLI(2n+2)-3. \ \>", "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.4216172161162*^9, 3.4216172986246*^9}, { 3.4216173723501997`*^9, 3.421617524965*^9}, 3.423253138765625*^9, 3.423253177328125*^9, 3.42325323428125*^9, {3.423253574953125*^9, 3.423253576859375*^9}, {3.42372879865*^9, 3.423728833874*^9}, { 3.423728865977*^9, 3.42372892455*^9}}] }, Open ]], Cell[TextData[{ StyleBox["Example.", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " This is a Mathematica function JLIR[n] for JLI(n) = JLI(n,2) based on the \ recursive relations in above theorem. Note that the expression of this \ function is very similar to that of equations in Theorem B." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{{3.423254024796875*^9, 3.42325406646875*^9}, { 3.423254100640625*^9, 3.42325410428125*^9}, 3.423254140765625*^9, 3.4232542134375*^9, {3.423583824046875*^9, 3.4235838280625*^9}, { 3.4237290316949997`*^9, 3.4237290765810003`*^9}, {3.423729180921*^9, 3.423729186041*^9}, {3.423820718814*^9, 3.4238207210179996`*^9}}], Cell[BoxData[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "1", "]"}], "=", "1"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "2", "]"}], "=", "1"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "3", "]"}], "=", "3"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "4", "]"}], "=", "4"}], ";"}], "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "5", "]"}], "=", "3"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "6", "]"}], "=", "6"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "7", "]"}], "=", "1"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "8", "]"}], "=", "6"}], ";"}], "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "9", "]"}], "=", "1"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "10", "]"}], "=", "8"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "11", "]"}], "=", "3"}], ";", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "12", "]"}], "=", "1"}], ";"}], "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "m_", "]"}], ":=", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", "m", "]"}], "=", RowBox[{"Block", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "k"}], "}"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"k", "=", RowBox[{"Mod", "[", RowBox[{"m", ",", "8"}], "]"}]}], ";", RowBox[{"n", "=", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"m", "-", "k"}], ")"}], "/", "8"}]}], ";", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"Which", "[", RowBox[{ RowBox[{"k", "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", " ", "n"}], "+", "2", "-", RowBox[{"4", " ", RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{"2", " ", "n"}], "]"}]}], "+", RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{"2", " ", "n"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"n", "+", "1"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"k", "\[Equal]", "1"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", " ", "n"}], "+", "5", "-", RowBox[{"4", " ", RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "1"}], "]"}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"k", "\[Equal]", "2"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"4", " ", RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "1"}], "]"}]}], "-", "3", "-", RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "1"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"n", "+", "2"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"k", "\[Equal]", "3"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", " ", "n"}], "+", "7", "-", RowBox[{"4", " ", RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "1"}], "]"}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"k", "\[Equal]", "4"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", " ", "n"}], "+", "8", "-", RowBox[{"4", " ", RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "2"}], "]"}]}], "+", RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "2"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"n", "+", "2"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"k", "\[Equal]", "5"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", " ", "n"}], "+", "7", "-", RowBox[{"4", " ", RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "1"}], "]"}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"k", "\[Equal]", "6"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"8", " ", "n"}], "+", "10", "-", RowBox[{"4", " ", RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "2"}], "]"}]}], "+", RowBox[{"Floor", "[", RowBox[{ RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "2"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"n", "+", "2"}], ")"}]}], "]"}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"k", "\[Equal]", "7"}], ",", RowBox[{ RowBox[{"4", " ", RowBox[{"JLIR", "[", RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "n"}], "+", "2"}], "]"}]}], "-", "3"}]}], "]"}]}]}], "]"}]}]}]}], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{ 3.4232542134375*^9, {3.423254379875*^9, 3.423254380421875*^9}, { 3.4237213744189997`*^9, 3.423721396117*^9}, {3.423802587888*^9, 3.4238026837609997`*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ StyleBox["Mathematica", FontSize->14, FontWeight->"Bold", FontSlant->"Italic"], StyleBox[" calculation to prove Theorem B. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], " JLI[m, 2] and JLIR[m] are Mathematica functions for JLI(n) = JLI(n,2). \ JLIR[m] is based on the recursive relations in Theorem B, and JLI[m, 2] is \ not. Therefore we can be almost sure that the recursive relations are correct \ if these functions produce the same values for sufciently many values of m.\n\ By using the above two Mathematica functions we can get the following result. \ It will take a few minutes to calculate aa3.\nWhen we know that two list \ {JLI[m,2], m = 1,2,...500} and {JLIR[m], m = 1,2,...500} are identical, we \ can be sure that the recursive relations in Theorem B is correct." }], "Text", CellChangeTimes->{{3.4237181895690002`*^9, 3.42371820827*^9}, { 3.4237204678269997`*^9, 3.423720568104*^9}, {3.4237291163380003`*^9, 3.423729125145*^9}, {3.423729219164*^9, 3.423729232153*^9}, { 3.423729293309*^9, 3.423729359777*^9}, {3.423820738366*^9, 3.423820774903*^9}, {3.423820986785*^9, 3.423820992102*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"aa3", "=", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"JIL", "[", RowBox[{"m", ",", "2"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"m", ",", "1", ",", "500"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{ 3.423254862109375*^9, 3.42325490296875*^9, 3.423255015234375*^9, 3.423717565124*^9, {3.423717755705*^9, 3.423717771608*^9}, 3.423717837349*^9, 3.423717999025*^9, 3.423718067543*^9, 3.423718110219*^9} ], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "3", ",", "4", ",", "3", ",", "6", ",", "1", ",", "6", ",", "1", ",", "8", ",", "3", ",", "1", ",", "3", ",", "3", ",", "13", ",", "3", ",", "9", ",", "9", ",", "11", ",", "1", ",", "11", ",", "3", ",", "21", ",", "3", ",", "25", ",", "1", ",", "27", ",", "9", ",", "27", ",", "11", ",", "21", ",", "11", ",", "33", ",", "1", ",", "35", ",", "9", ",", "35", ",", "11", ",", "29", ",", "11", ",", "33", ",", "9", ",", "35", ",", "44", ",", "35", ",", "46", ",", "1", ",", "46", ",", "41", ",", "9", ",", "43", ",", "44", ",", "43", ",", "46", ",", "9", ",", "46", ",", "9", ",", "48", ",", "11", ",", "52", ",", "11", ",", "54", ",", "9", ",", "54", ",", "33", ",", "33", ",", "35", ",", "36", ",", "35", ",", "38", ",", "33", ",", "38", ",", "33", ",", "40", ",", "35", ",", "76", ",", "35", ",", "78", ",", "1", ",", "78", ",", "41", ",", "41", ",", "43", ",", "76", ",", "43", ",", "78", ",", "9", ",", "78", ",", "9", ",", "80", ",", "11", ",", "84", ",", "11", ",", "86", ",", "9", ",", "86", ",", "1", ",", "96", ",", "3", ",", "100", ",", "3", ",", "102", ",", "1", ",", "102", ",", "1", ",", "104", ",", "3", ",", "76", ",", "3", ",", "78", ",", "33", ",", "78", ",", "9", ",", "104", ",", "11", ",", "76", ",", "11", ",", "78", ",", "41", ",", "78", ",", "41", ",", "80", ",", "43", ",", "84", ",", "43", ",", "86", ",", "41", ",", "86", ",", "1", ",", "128", ",", "3", ",", "132", ",", "3", ",", "134", ",", "1", ",", "134", ",", "1", ",", "136", ",", "3", ",", "108", ",", "3", ",", "110", ",", "33", ",", "110", ",", "9", ",", "136", ",", "11", ",", "108", ",", "11", ",", "110", ",", "41", ",", "110", ",", "41", ",", "112", ",", "43", ",", "116", ",", "43", ",", "118", ",", "41", ",", "118", ",", "33", ",", "128", ",", "35", ",", "132", ",", "35", ",", "134", ",", "33", ",", "134", ",", "33", ",", "136", ",", "35", ",", "1", ",", "35", ",", "3", ",", "173", ",", "3", ",", "41", ",", "136", ",", "43", ",", "1", ",", "43", ",", "3", ",", "181", ",", "3", ",", "185", ",", "1", ",", "187", ",", "9", ",", "187", ",", "11", ",", "181", ",", "11", ",", "33", ",", "160", ",", "35", ",", "164", ",", "35", ",", "166", ",", "33", ",", "166", ",", "33", ",", "168", ",", "35", ",", "33", ",", "35", ",", "35", ",", "173", ",", "35", ",", "41", ",", "168", ",", "43", ",", "33", ",", "43", ",", "35", ",", "181", ",", "35", ",", "185", ",", "33", ",", "187", ",", "41", ",", "187", ",", "43", ",", "181", ",", "43", ",", "193", ",", "33", ",", "195", ",", "41", ",", "195", ",", "43", ",", "189", ",", "43", ",", "193", ",", "41", ",", "195", ",", "33", ",", "195", ",", "35", ",", "205", ",", "35", ",", "201", ",", "41", ",", "203", ",", "33", ",", "203", ",", "35", ",", "213", ",", "35", ",", "217", ",", "33", ",", "219", ",", "41", ",", "219", ",", "43", ",", "213", ",", "43", ",", "129", ",", "129", ",", "131", ",", "132", ",", "131", ",", "134", ",", "129", ",", "134", ",", "129", ",", "136", ",", "131", ",", "129", ",", "131", ",", "131", ",", "141", ",", "131", ",", "137", ",", "137", ",", "139", ",", "129", ",", "139", ",", "131", ",", "149", ",", "131", ",", "153", ",", "129", ",", "155", ",", "137", ",", "155", ",", "139", ",", "149", ",", "139", ",", "161", ",", "129", ",", "163", ",", "137", ",", "163", ",", "139", ",", "157", ",", "139", ",", "161", ",", "137", ",", "163", ",", "1", ",", "163", ",", "3", ",", "301", ",", "3", ",", "169", ",", "137", ",", "171", ",", "1", ",", "171", ",", "3", ",", "309", ",", "3", ",", "313", ",", "1", ",", "315", ",", "9", ",", "315", ",", "11", ",", "309", ",", "11", ",", "161", ",", "161", ",", "163", ",", "164", ",", "163", ",", "166", ",", "161", ",", "166", ",", "161", ",", "168", ",", "163", ",", "33", ",", "163", ",", "35", ",", "301", ",", "35", ",", "169", ",", "169", ",", "171", ",", "33", ",", "171", ",", "35", ",", "309", ",", "35", ",", "313", ",", "33", ",", "315", ",", "41", ",", "315", ",", "43", ",", "309", ",", "43", ",", "321", ",", "33", ",", "323", ",", "41", ",", "323", ",", "43", ",", "317", ",", "43", ",", "321", ",", "41", ",", "323", ",", "33", ",", "323", ",", "35", ",", "333", ",", "35", ",", "329", ",", "41", ",", "331", ",", "33", ",", "331", ",", "35", ",", "341", ",", "35", ",", "345", ",", "33", ",", "347", ",", "41", ",", "347", ",", "43", ",", "341", ",", "43", ",", "385", ",", "1", ",", "387", ",", "9", ",", "387", ",", "11", ",", "381", ",", "11", ",", "385", ",", "9", ",", "387", ",", "1", ",", "387", ",", "3", ",", "397", ",", "3", ",", "393", ",", "9", ",", "395", ",", "1", ",", "395", ",", "3", ",", "405", ",", "3", ",", "409", ",", "1", ",", "411", ",", "9", ",", "411", ",", "11", ",", "405", ",", "11", ",", "417", ",", "1", ",", "419", ",", "9", ",", "419", ",", "11", ",", "413", ",", "11", ",", "417", ",", "9", ",", "419", ",", "129", ",", "419", ",", "131", ",", "301", ",", "131", ",", "425", ",", "9", ",", "427", ",", "129", ",", "427", ",", "131", ",", "309", ",", "131", ",", "313", ",", "129", ",", "315", ",", "137", ",", "315", ",", "139", ",", "309", ",", "139", ",", "417", ",", "33", ",", "419", ",", "41", ",", "419", ",", "43", ",", "413", ",", "43", ",", "417", ",", "41", ",", "419", ",", "161", ",", "419", ",", "163", ",", "301", ",", "163", ",", "425", ",", "41", ",", "427", ",", "161", ",", "427", ",", "163", ",", "309", ",", "163", ",", "313", ",", "161", ",", "315", ",", "169", ",", "315", ",", "171", ",", "309", ",", "171", ",", "321", ",", "161", ",", "323", ",", "169", ",", "323", ",", "171", ",", "317", ",", "171", ",", "321", ",", "169", ",", "323", ",", "161", ",", "323", ",", "163", ",", "333", ",", "163", ",", "329", ",", "169", ",", "331", ",", "161"}], "}"}]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{ 3.4232548985*^9, 3.423254937859375*^9, 3.423255015234375*^9, 3.423255316953125*^9, 3.423717568422*^9, {3.423717752381*^9, 3.423717772759*^9}, 3.423717838567*^9, 3.42371798445*^9, { 3.423718055587*^9, 3.423718083848*^9}, 3.423718167789*^9}], Cell[BoxData[ RowBox[{"aa4", "=", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"JILR", "[", "m", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"m", ",", "1", ",", "500"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{{3.42325491065625*^9, 3.42325491496875*^9}, 3.423255015234375*^9, {3.423255300046875*^9, 3.423255300421875*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ "1", ",", "1", ",", "3", ",", "4", ",", "3", ",", "6", ",", "1", ",", "6", ",", "1", ",", "8", ",", "3", ",", "1", ",", "3", ",", "3", ",", "13", ",", "3", ",", "9", ",", "9", ",", "11", ",", "1", ",", "11", ",", "3", ",", "21", ",", "3", ",", "25", ",", "1", ",", "27", ",", "9", ",", "27", ",", "11", ",", "21", ",", "11", ",", "33", ",", "1", ",", "35", ",", "9", ",", "35", ",", "11", ",", "29", ",", "11", ",", "33", ",", "9", ",", "35", ",", "44", ",", "35", ",", "46", ",", "1", ",", "46", ",", "41", ",", "9", ",", "43", ",", "44", ",", "43", ",", "46", ",", "9", ",", "46", ",", "9", ",", "48", ",", "11", ",", "52", ",", "11", ",", "54", ",", "9", ",", "54", ",", "33", ",", "33", ",", "35", ",", "36", ",", "35", ",", "38", ",", "33", ",", "38", ",", "33", ",", "40", ",", "35", ",", "76", ",", "35", ",", "78", ",", "1", ",", "78", ",", "41", ",", "41", ",", "43", ",", "76", ",", "43", ",", "78", ",", "9", ",", "78", ",", "9", ",", "80", ",", "11", ",", "84", ",", "11", ",", "86", ",", "9", ",", "86", ",", "1", ",", "96", ",", "3", ",", "100", ",", "3", ",", "102", ",", "1", ",", "102", ",", "1", ",", "104", ",", "3", ",", "76", ",", "3", ",", "78", ",", "33", ",", "78", ",", "9", ",", "104", ",", "11", ",", "76", ",", "11", ",", "78", ",", "41", ",", "78", ",", "41", ",", "80", ",", "43", ",", "84", ",", "43", ",", "86", ",", "41", ",", "86", ",", "1", ",", "128", ",", "3", ",", "132", ",", "3", ",", "134", ",", "1", ",", "134", ",", "1", ",", "136", ",", "3", ",", "108", ",", "3", ",", "110", ",", "33", ",", "110", ",", "9", ",", "136", ",", "11", ",", "108", ",", "11", ",", "110", ",", "41", ",", "110", ",", "41", ",", "112", ",", "43", ",", "116", ",", "43", ",", "118", ",", "41", ",", "118", ",", "33", ",", "128", ",", "35", ",", "132", ",", "35", ",", "134", ",", "33", ",", "134", ",", "33", ",", "136", ",", "35", ",", "1", ",", "35", ",", "3", ",", "173", ",", "3", ",", "41", ",", "136", ",", "43", ",", "1", ",", "43", ",", "3", ",", "181", ",", "3", ",", "185", ",", "1", ",", "187", ",", "9", ",", "187", ",", "11", ",", "181", ",", "11", ",", "33", ",", "160", ",", "35", ",", "164", ",", "35", ",", "166", ",", "33", ",", "166", ",", "33", ",", "168", ",", "35", ",", "33", ",", "35", ",", "35", ",", "173", ",", "35", ",", "41", ",", "168", ",", "43", ",", "33", ",", "43", ",", "35", ",", "181", ",", "35", ",", "185", ",", "33", ",", "187", ",", "41", ",", "187", ",", "43", ",", "181", ",", "43", ",", "193", ",", "33", ",", "195", ",", "41", ",", "195", ",", "43", ",", "189", ",", "43", ",", "193", ",", "41", ",", "195", ",", "33", ",", "195", ",", "35", ",", "205", ",", "35", ",", "201", ",", "41", ",", "203", ",", "33", ",", "203", ",", "35", ",", "213", ",", "35", ",", "217", ",", "33", ",", "219", ",", "41", ",", "219", ",", "43", ",", "213", ",", "43", ",", "129", ",", "129", ",", "131", ",", "132", ",", "131", ",", "134", ",", "129", ",", "134", ",", "129", ",", "136", ",", "131", ",", "129", ",", "131", ",", "131", ",", "141", ",", "131", ",", "137", ",", "137", ",", "139", ",", "129", ",", "139", ",", "131", ",", "149", ",", "131", ",", "153", ",", "129", ",", "155", ",", "137", ",", "155", ",", "139", ",", "149", ",", "139", ",", "161", ",", "129", ",", "163", ",", "137", ",", "163", ",", "139", ",", "157", ",", "139", ",", "161", ",", "137", ",", "163", ",", "1", ",", "163", ",", "3", ",", "301", ",", "3", ",", "169", ",", "137", ",", "171", ",", "1", ",", "171", ",", "3", ",", "309", ",", "3", ",", "313", ",", "1", ",", "315", ",", "9", ",", "315", ",", "11", ",", "309", ",", "11", ",", "161", ",", "161", ",", "163", ",", "164", ",", "163", ",", "166", ",", "161", ",", "166", ",", "161", ",", "168", ",", "163", ",", "33", ",", "163", ",", "35", ",", "301", ",", "35", ",", "169", ",", "169", ",", "171", ",", "33", ",", "171", ",", "35", ",", "309", ",", "35", ",", "313", ",", "33", ",", "315", ",", "41", ",", "315", ",", "43", ",", "309", ",", "43", ",", "321", ",", "33", ",", "323", ",", "41", ",", "323", ",", "43", ",", "317", ",", "43", ",", "321", ",", "41", ",", "323", ",", "33", ",", "323", ",", "35", ",", "333", ",", "35", ",", "329", ",", "41", ",", "331", ",", "33", ",", "331", ",", "35", ",", "341", ",", "35", ",", "345", ",", "33", ",", "347", ",", "41", ",", "347", ",", "43", ",", "341", ",", "43", ",", "385", ",", "1", ",", "387", ",", "9", ",", "387", ",", "11", ",", "381", ",", "11", ",", "385", ",", "9", ",", "387", ",", "1", ",", "387", ",", "3", ",", "397", ",", "3", ",", "393", ",", "9", ",", "395", ",", "1", ",", "395", ",", "3", ",", "405", ",", "3", ",", "409", ",", "1", ",", "411", ",", "9", ",", "411", ",", "11", ",", "405", ",", "11", ",", "417", ",", "1", ",", "419", ",", "9", ",", "419", ",", "11", ",", "413", ",", "11", ",", "417", ",", "9", ",", "419", ",", "129", ",", "419", ",", "131", ",", "301", ",", "131", ",", "425", ",", "9", ",", "427", ",", "129", ",", "427", ",", "131", ",", "309", ",", "131", ",", "313", ",", "129", ",", "315", ",", "137", ",", "315", ",", "139", ",", "309", ",", "139", ",", "417", ",", "33", ",", "419", ",", "41", ",", "419", ",", "43", ",", "413", ",", "43", ",", "417", ",", "41", ",", "419", ",", "161", ",", "419", ",", "163", ",", "301", ",", "163", ",", "425", ",", "41", ",", "427", ",", "161", ",", "427", ",", "163", ",", "309", ",", "163", ",", "313", ",", "161", ",", "315", ",", "169", ",", "315", ",", "171", ",", "309", ",", "171", ",", "321", ",", "161", ",", "323", ",", "169", ",", "323", ",", "171", ",", "317", ",", "171", ",", "321", ",", "169", ",", "323", ",", "161", ",", "323", ",", "163", ",", "333", ",", "163", ",", "329", ",", "169", ",", "331", ",", "161"}], "}"}]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{ 3.423254937890625*^9, {3.423254993375*^9, 3.423255015234375*^9}, 3.4232553215625*^9, 3.42372045148*^9, 3.423721411441*^9}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Union", "[", RowBox[{"aa3", "-", "aa4"}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{3.423254821015625*^9, 3.42325487871875*^9}], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", "0", "}"}]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}, CellChangeTimes->{{3.4232553668125*^9, 3.4232553875*^9}, 3.423720455981*^9, 3.423721414738*^9}] }, Closed]], Cell[TextData[{ StyleBox["Acknowledgement. ", FontSize->14, FontWeight->"Bold"], "We would like to thank Mr. Harrison Gray and Dr. Ryohei Miyadera for \ helping us to prepare this article. Mr. Gray checked our English and Dr. \ Miyadera helped us when we used ", StyleBox["Mathematica", FontSlant->"Italic"], " in this article." }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}, CellChangeTimes->{{3.423253063078125*^9, 3.42325309615625*^9}, 3.42325323428125*^9, 3.423581608140625*^9, {3.4235830571875*^9, 3.423583061796875*^9}, {3.423642997443*^9, 3.423642999451*^9}, 3.423643068616*^9, {3.423689277803*^9, 3.423689289802*^9}, { 3.423717137326*^9, 3.423717145704*^9}, {3.4237171835810003`*^9, 3.4237172020620003`*^9}, {3.423717326601*^9, 3.423717423363*^9}}] }, AutoGeneratedPackage->None, CellGrouping->Manual, WindowSize->{980, 606}, WindowMargins->{{-10, Automatic}, {Automatic, 9}}, Magnification->1., FrontEndVersion->"6.0 for Microsoft Windows (32-bit) \ (2008\:5e742\:67087\:65e5)", StyleDefinitions->"Default.nb" ] (* End of Notebook Content *) (* Internal cache information *) (*CellTagsOutline CellTagsIndex->{} *) (*CellTagsIndex CellTagsIndex->{} *) (*NotebookFileOutline Notebook[{ Cell[568, 21, 115, 1, 83, "Title"], Cell[686, 24, 512, 11, 87, "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[1223, 39, 124, 2, 29, "Text", InitializationCell->True], Cell[1350, 43, 81938, 1466, 4652, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, InitializationCell->True, CellID->339773916] }, Closed]], Cell[83303, 1512, 241, 5, 41, "Section"], Cell[83547, 1519, 531, 8, 62, "Text"], Cell[84081, 1529, 292, 7, 83, "Text"], Cell[84376, 1538, 243, 3, 71, "Section"], Cell[84622, 1543, 909, 13, 80, "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[85556, 1560, 598, 12, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}], Cell[86157, 1574, 3383, 81, 292, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[89577, 1660, 561, 12, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}], Cell[CellGroupData[{ Cell[90163, 1676, 540, 9, 31, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}], Cell[90706, 1687, 153, 2, 30, "Output"] }, Open ]] }, Open ]], Cell[90886, 1693, 385, 7, 47, "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[91296, 1704, 1116, 19, 121, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell[92415, 1725, 278, 6, 29, "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[92718, 1735, 5048, 117, 232, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell[97769, 1854, 4309, 83, 422, "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[102127, 1943, 401, 9, 31, "Text"], Cell[102531, 1954, 4274, 222, 3934, "Text"] }, Closed]], Cell[106820, 2179, 644, 13, 28, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[CellGroupData[{ Cell[107489, 2196, 542, 12, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[108034, 2210, 763, 14, 155, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[108834, 2229, 609, 13, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[109446, 2244, 5112, 150, 132, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[114595, 2399, 1258, 26, 68, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[115856, 2427, 462, 11, 31, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[116321, 2440, 6266, 84, 354, "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[122590, 2526, 483, 11, 31, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[123076, 2539, 6290, 85, 354, "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[129369, 2626, 227, 5, 31, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[129599, 2633, 264, 5, 30, "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}] }, Closed]], Cell[129878, 2641, 133, 1, 26, "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[130036, 2646, 754, 16, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[130793, 2664, 704, 25, 45, "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[131522, 2693, 391, 10, 31, "Input"], Cell[131916, 2705, 2815, 38, 126, "Output"] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[134780, 2749, 604, 13, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10003.}], Cell[135387, 2764, 1535, 59, 1001, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10003.}] }, Open ]], Cell[136937, 2826, 298, 4, 71, "Section"], Cell[137238, 2832, 1005, 16, 116, "Text"], Cell[138246, 2850, 648, 13, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}], Cell[138897, 2865, 6906, 170, 392, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}], Cell[145806, 3037, 278, 6, 29, "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[146109, 3047, 507, 11, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10005.}], Cell[146619, 3060, 2107, 57, 112, "Input"], Cell[148729, 3119, 10005, 206, 384, "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10005.}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[158771, 3330, 598, 12, 31, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}], Cell[159372, 3344, 762, 15, 155, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}] }, Open ]], Cell[160149, 3362, 701, 13, 49, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}], Cell[160853, 3377, 4865, 142, 252, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}], Cell[CellGroupData[{ Cell[165743, 3523, 1142, 21, 86, "Text"], Cell[166888, 3546, 515, 13, 31, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}], Cell[167406, 3561, 6349, 86, 354, "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}], Cell[173758, 3649, 392, 9, 31, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}], Cell[174153, 3660, 6225, 84, 354, "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}], Cell[180381, 3746, 201, 4, 31, "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}], Cell[180585, 3752, 204, 4, 30, "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10004.}] }, Closed]], Cell[180804, 3759, 804, 17, 46, "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10002.}] } ] *) (* End of internal cache information *)