Demandes associées au chapitre-notebook:"développements limités"

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Exemple 1

Series[Sin[x], {x, 0, 5}]

Series[Sin[x], {x, 0, 20}]

FullForm[%]

Normal[%]

FullForm[%]

Exemple 2

Series[Sin[x]/(x^6), {x, 0, 5}]

Series[Sin[x], {x, 0, 5}]/(x^6)

Exemple 3

Series[Tan[x], {x, 0, 5}]

Series[Tan[x], {x, 0, 32}]

Exemple 4

TableForm[
      Table[Series[Cosh[x] - ((12 + 5 (x^2))/(12 - (x^2))), {x, 0, i}], {i, 
          1, 15}]]

Exemple 5

TableForm[Table[Series[Sin[x] - Sinh[x], {x, 0, i}], {i, 1, 20}]]

Exemple 6

TableForm[
      Table[Series[Exp[x] - 1 - x - ((x^2)/2), {x, 0, i}], {i, 1, 10}]]

Exemple 7

TableForm[
      Table[Series[Cos[x] - (2/(2 + (x^2))), {x, 0, i}], {i, 1, 10}]]

Exemple 8

TableForm[
      Table[Series[(Sqrt[x + 3]) - (((3 x + 5))^(1/3)), {x, 1, i}], {i, 1, 
          5}]]

Exemple 9

TableForm[Table[Series[Tan[x - 1], {x, 1, i}], {i, 1, 5}]]

Exemple 10

Series[Sin[x], {x, 0, 5}]

Series[Cos[x], {x, 0, 5}]

Division par puissances croissantes

CoefficientList[7 (x^5) - ((x^2)/2) + 3, x]

nombreZerosAuDebut[liste__] := 
      If[First[liste] == 0, 1 + nombreZerosAuDebut[Rest[liste]], 0]

nombreZerosAuDebut[{0}] = 1;

nombreZerosAuDebut[{a_} /; Length[a] == 0] := 0

divisionPuissancesCroissantes[polynôme1_, polynôme2_, x_, 
        ordre_] := 
      With[{pt1 = premierTerme[polynôme1]}, 
        pt1 + divisionPuissancesCroissantes[
            Expand[
                polynôme1 - 
                  polynôme2 
                    PolynomialDivision[pt1, premierTerme[polynôme2], x]]
                [[1]], 
            polynôme2, x, ordre]]

divisionPuissancesCroissantes[polynôme1_, polynôme2_, x_, 
        ordre_] := 
      0 /; nombreZerosAuDebut[CoefficientList[polynôme1, x]] > 
          ordre + 1

divisionPuissancesCroissantes[polynôme1_, polynôme2_, x_, 
        ordre_] := 
      "Division impossible" /; 
        CoefficientList[polynôme2, x][[1
            ]] == 0

premierTerme[polynôme_] := First[polynôme]

premierTerme[polynôme_] := 
      polynôme /; 
        Length[Select[CoefficientList[polynôme, x], #1 =!= 0&]] == 1

divisionPuissancesCroissantes[x - ((x^3)/6) + ((x^5)/120), 
      1 - ((x^2)/2) + ((x^4)/24), x, 5]

divisionPuissancesCroissantes[1 - ((x^2)/2) + ((x^4)/24), 
      1 - ((x^2)/6) + ((x^4)/120), x, 4]

Exemple 11

Series[Sin[Exp[x] - 1], {x, 0, 4}]

Exemple 12

Series[(Sqrt[(Sqrt[1 + x]) + (Sqrt[1 - x])]), {x, 0, 4}]

Exemple 13

Series[Log[Cos[x]], {x, 0, 6}]

Exemple 14

développement1 = Series[Exp[x] - 1, {x, 0, 4}]

développement2 = Series[Sin[x], {x, 0, 4}]

développement2 /. x -> développement1

Exemple 15

Series[Log[1 + x], {x, 0, 6}]

% /. x -> -1 + Series[Cos[x], {x, 0, 6}]

Exemple 16

Series[(Sqrt[1 + x]), {x, 0, 4}]

Series[(Sqrt[1 - x]), {x, 0, 4}]

% + %%

\(%\/2\)

\(Series[\@%, {x, 0, 4}]\)

% (Sqrt[2])

Exemple 17

Series[(1/(1 - (x^2) - (x^3))), {x, 0, 7}]

Exemple 18

Series[Cosh[x]^((1/Sin)[x]), {x, 0, 4}]

Series[Log[Cosh[x]]/Sin[x], {x, 0, 4}]

Series[Exp[%], {x, 0, 4}]

Exemple 19

Series[Log[Log[(((1 + x))^(1/x))]], {x, 0, 4}]

Series[Log[1 + x]/x, {x, 0, 4}]

u = % - 1

Series[Log[1 + v], {v, 0, 4}]

% /. v -> u

Exemple 20

Series[Tan[Sin[x]] - Sin[Tan[x]], {x, 0, 4}]

Series[Tan[Sin[x]] - Sin[Tan[x]], {x, 0, 5}]

Series[Tan[Sin[x]] - Sin[Tan[x]], {x, 0, 6}]

Series[Tan[Sin[x]] - Sin[Tan[x]], {x, 0, 7}]

Exemple 21

Series[(x/(x - 1)), {x, 2, 1}]

Normal[%]

dlg[1][1] = %

Plot[{%, (x/(x - 1))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 1 pour (x/(x - 1))"];

g[1][1]=Plot[{dlg[1][1], (x/(x - 1))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 1 pour (x/(x - 1))",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[1, 0, 0]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Series[(1/(Sqrt[x])), {x, 2, 1}]

Normal[%]

dlg[2][1] = Simplify[%]

Plot[{%, (1/(Sqrt[x]))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 1 pour (1/(Sqrt[x]))"];

g[2][1]=Plot[{dlg[2][1], (1/(Sqrt[x]))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 1 pour (1/(Sqrt[x]))",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[1, 0, 0]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Series[(x/((x - 1) (Sqrt[x]))), {x, 2, 1}]

Normal[%]

dlg[3][1] = Simplify[%]

Plot[{%, (x/((x - 1) (Sqrt[x])))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 1 pour \!\(TraditionalForm\`x\/\(\((x - 1)\)\\ \@x\)\)"];

g[3][1]=Plot[{dlg[3][1], (x/((x - 1) (Sqrt[x])))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 1 pour \!\(TraditionalForm\`x\/\(\((x - 1)\)\\ \@x\)\)",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[1, 0, 0]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Series[(x/(x - 1)), {x, 2, 2}]

Normal[%]

dlg[1][2] = Simplify[%]

Plot[{%, (x/(x - 1))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 2 pour (x/(x - 1))"];

g[1][2]=Plot[{dlg[1][2], (x/(x - 1))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 2 pour (x/(x - 1))",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[0, 1, 0]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Series[(1/(Sqrt[x])), {x, 2, 2}]

Normal[%]

dlg[2][2] = Simplify[%]

Plot[{%, (1/(Sqrt[x]))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 2 pour (1/(Sqrt[x]))"];

g[2][2]=Plot[{dlg[2][2], (1/(Sqrt[x]))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 2 pour  (1/(Sqrt[x]))",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[0, 1, 0]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Series[(x/((x - 1) (Sqrt[x]))), {x, 2, 2}]

Normal[%]

dlg[3][2] = Simplify[%]

Plot[{%, (x/((x - 1) (Sqrt[x])))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 2 pour \!\(TraditionalForm\`x\/\(\((x - 1)\)\\ \@x\)\)"];

g[3][2]=Plot[{dlg[3][2],(x/((x - 1) (Sqrt[x])))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 2 pour \!\(TraditionalForm\`x\/\(\((x - 1)\)\\ \@x\)\)",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[0, 1, 0]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Series[(x/(x - 1)), {x, 2, 3}]

Normal[%]

dlg[1][3] = Simplify[%]

Plot[{%, (x/(x - 1))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 3 pour (x/(x - 1))"];

g[1][3]=Plot[{dlg[1][3], (x/(x - 1))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 3 pour (x/(x - 1))",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[0, 0, 1]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Series[(1/(Sqrt[x])), {x, 2, 3}]

Normal[%]

dlg[2][3] = Simplify[%]

Plot[{%, (1/(Sqrt[x]))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 3 pour (1/(Sqrt[x]))"];

g[2][3]=Plot[{dlg[2][3], (1/(Sqrt[x]))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 3 pour (1/(Sqrt[x]))",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[0, 0, 1]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Series[(x/((x - 1) (Sqrt[x]))), {x, 2, 3}]

Normal[%]

dlg[3][3] = Simplify[%]

Plot[{%, (x/((x - 1) (Sqrt[x])))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 3 pour \!\(TraditionalForm\`x\/\(\((x - 1)\)\\ \@x\)\)"];

g[3][3]=Plot[{dlg[3][3], (x/((x - 1) (Sqrt[x])))},{x, 1.5, 2.5},PlotLabel->"ordre 3 pour \!\(TraditionalForm\`x\/\(\((x - 1)\)\\ \@x\)\)",Ticks -> None,PlotStyle -> {{RGBColor[0, 0, 1]}, {RGBColor[0, 0, 0]}},DisplayFunction -> Identity];

Show[GraphicsArray[Table[g[i][j], {j, 1, 3}, {i, 1, 3}]], 
      Frame -> True];

\(
\)

Plot[
      Evaluate[Append[Table[dlg[1][i], {i, 1, 3}], (x/(x - 1))], {x, 
          1.5, 2.5}]];

g[1]=Plot[Evaluate[Append[Table[dlg[1][i], {i, 1, 3}], (x/(x - 1))]],{x, 1.1, 2.9},PlotLabel->" fonction x -> (x/(x - 1)) ",PlotRange -> {0, 3},AspectRatio -> Automatic,DisplayFunction -> Identity];

Plot[
      Evaluate[Append[Table[dlg[2][i], {i, 1, 3}], (1/(Sqrt[x]))], {x, 1.5, 
          2.5}]];

g[2]=Plot[Evaluate[Append[Table[dlg[2][i], {i, 1, 3}], (1/(Sqrt[x]))]],{x, 1.1, 2.9},PlotLabel->" fonction (1/(Sqrt[x])) ",AspectRatio -> Automatic,PlotRange -> {0, 3},DisplayFunction -> Identity];

Plot[
      Evaluate[Append[Table[dlg[3][i], {i, 1, 3}], 
          (x/((x - 1) (Sqrt[x])))], {x, 1.5, 2.5}]];

g[3]=
	Plot[Evaluate[
              Append[Table[dlg[3][i], {i, 1, 3}], 
                (x/((x - 1) (Sqrt[x])))]],
		{x, 1.1, 2.9},
		PlotLabel->" fonction \!\(TraditionalForm\`x\/\(\((x - 1)\)\\ \@x\)\)] ",PlotRange -> {0, 3},
		AspectRatio -> Automatic,DisplayFunction -> Identity];

Show[GraphicsArray[Table[g[i], {i, 1, 3}]], Frame -> True];

Exemple 22

f[x_] := (x/(1 + Exp[(1/x)]))

f[0] = 0;

Plot[f[x], {x, -3, 3}];

Series[(x/(1 + Exp[(1/x)])), {x, -∞, 3}]

Series[(x/(1 + Exp[(1/x)])), {x, ∞, 3}]

Plot[{f[x], (x/2) - (1/4)}, {x, -1, 1}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0]}];

repésentationGraphique = %;

Limit[(1/(1 + Exp[(1/x)])), x -> 0, Direction -> -1]

Limit[(1/(1 + Exp[(1/x)])), x -> 0, Direction -> 1]

Needs["Graphics`Arrow`"]

Show[repésentationGraphique, 
      Graphics[{Arrow[{0, 0}, {-0.3, -0.3}], 
          Arrow[{0, 0}, {0.15, 0}, HeadCenter -> 0]}]];