Demandes associées au chapitre-notebook: "dérivée"

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Exemple 1

Dérivée d'une fraction rationnelle

(∂_x)(( 2 x + 3)/((x^2) - 5 x + 5))

D [(2 x + 3) / (x^2 - 5 x + 5),  x]

Exemple 2

Dérivée avec paramètres (au sens mathématique du terme)

(∂_x)(( a (x^6) + b)/(Sqrt[(a^2) + (b^2)]))

Exemple 3

(∂_x)(( a (x^4) + b)/(Sqrt[(a^2) + (x^2)]))

f[x_] := x Cos[x]

(∂_x) f[x]

(∂_x) f

(∂_(x ))bonjour

g = 3 (x^2) Sin[x];

(∂_x) g

g[3]

g  /.  x  -> 3

Exemple 4

f[x_] := ((((((1 - x))^2)))^(n - (1/2)))

f'[x]

(∂_x) f[x]

f''[x]

\(∂\_{x, 2}f[x]\)

D [f [x],  {x,  2}]

Exemple 5

f[x_] := (x^(n - 1)) Exp[(1/x)]

(∂_x) f[x]

\(∂\_{x, 2}f[x]\)

\(∂\_{x, 3}f[x]\)

\(∂\_{x, 4}f[x]\)

\(TableForm\ [Table[∂\_{x, i}Exp[1\/x], {i, 1, 5}]]\)

\(TableForm[
      Table[∂\_{x, i}\((x\^\(n - 1\)\ Exp[1\/x] /. 
              n -> 1)\), {i, 1, 5}]]\)

\(TableForm[
      Table[∂\_{x, i}\((x\^\(n - 1\)\ Exp[1\/x] /. 
              n -> 2)\), {i, 1, 5}]]\)

\(TableForm[
      Table[∂\_{x, i}\((x\^\(n - 1\)\ Exp[1\/x] /. 
              n -> 3)\), {i, 1, 5}]]\)

\(TableForm[
      Table[∂\_{x, i}\((x\^\(n - 1\)\ Exp[1\/x] /. 
              n -> 4)\), {i, 1, 5}]]\)

\(TableForm[
      Table[∂\_{x, i}\((x\^\(n - 1\)\ Exp[1\/x] /. 
              n -> 5)\), {i, 1, 5}]]\)

\(TableForm[
      Table[∂\_{x, n}\((x\^\(n - 1\)\ Exp[1\/x])\), {n, 1, 5}], 
      TableHeadings -> Automatic, 
      TableSpacing -> {3, 10}]\)

Exemple 6

\(P[n_, 
        x_] := \(\((\(-1\))\)\^n\ ∂\_{x, n}f[x]\)\/f[x]\)

f[x_] := Exp[-(x^2)]

\(TableForm[Table[∂\_{x, n}f[x], {n, 1, 5}]]\)

\(TableForm[Simplify[%\/Exp[\(-x\^2\)]]]\)

TableForm[Expand[%]]

polynômes = Simplify[Table[P[n, x], {n, 1, 5}]];

dérivéesPremières = 
        Expand[((∂_x) #1 &) /@ polynômes];

dérivéesPremières = 
      Expand [Map [(∂_x) #  &,  polynômes]]

TableForm[%]

\(\(dérivéesSecondes = 
        Expand[\((∂\_{x, 2}#1 &)\) /@ 
            polynômes];\)\)

TableForm[%]

dérivéesSecondes - 
      x dérivéesPremières + 
      polynômes

dérivéesSecondes - 
        2 x dérivéesPremières + 4 polynômes == 
      0

Map [Expand,  %]

dérivéesSecondes - 
        2 x dérivéesPremières + 6 polynômes == 
      0

Map [Expand,  %]

dérivéesSecondes - 
        2 x dérivéesPremières + 
        2 n polynômes == 0

dérivéesSecondes - 
        2 x dérivéesPremières + 8 polynômes == 
      0

Expand /@ %

f

?f

f [2]

FullForm [f]

?f'

FullForm [f']

f'

?Derivative

f'[x]

FullForm[%]

FullForm [f']

FullForm [f' [x]]

Trace [f[3]]

Trace [f'[3]]

Clear[A, f, P, x, polynômes, dérivéesSecondes, 
      dérivéesPremières]

Exemple 7

f1[x_, y_] := Exp[Sin[(y/x)]]

f2[x_, y_] := ArcSin[(Sqrt[(((x^2) - (y^2))/((x^2) + (y^2)))])]

f3[x_, y_] := (y^(y/x)) Sin[(y/x)]

(∂_x) f1[x, y]

(∂_y) f1[x, y]

x (∂_x) f1[x, y] + y (∂_y) f1[x, y] == 0

(∂_x) f2[x, y]

(∂_y) f2[x, y]

x (∂_x) f2[x, y] + y (∂_y) f2[x, y]

Simplify[%]

(∂_x) f3[x, y]

(∂_y) f3[x, y]

Simplify[
      (x^2) (∂_x) f3[x, y] + x y (∂_y) f3[x, y] - 
        y f3[x, y]]

Clear[f1, f2, f3]

Exemple 8

f[x_, y_] := {(x^2) - (y^2), 2 x y}

f[x, y][[1]]

f[x, y][[2]]

(∂_x) f[x, 
          y][[1]]

(∂_x) f[x, 
          y][[2]]

(∂_y) f[x, 
          y][[1]]

(∂_y) f[x, 
          y][[2]]

MatrixForm[
      Table[(∂_({x, y}[[j]]))f[x, y][[i]], {i, 1, 2}, {j, 1, 
          2}]]

Det[%]

Exemple 9

F[r_, θ_, ϕ_] := {r Sin[θ] Cos[ϕ], 
        r Sin[θ] Sin[ϕ], r Cos[θ]}

TableForm[
      Table[(∂_({r, θ, ϕ}[[j]]))F[r, θ, ϕ][[
            i]], {i, 1, 3}, {j, 1, 3}]]

MatrixForm[
      Table[(∂_({r, θ, ϕ}[[j]]))F[r, θ, ϕ][[
            i]], {i, 1, 3}, {j, 1, 3}]]

Simplify[Det[%]]

Clear[f1,  f2,  f3, f, F]