Demandes associées au chapitre-notebook:"Calcul de limites"

Pour accéder au code relatif à un exemple, double-cliquer sur le triangle du crochet icônique à droite.

Exemple 1

Calculer les limites de (Sqrt[(x - 1) (x - 2)]) quand x tend vers 0, 1 et 2

Limit[(Sqrt[(x - 1) (x - 2)]), x -> 0]

Limit[(Sqrt[(x - 1) (x - 2)]), x -> 1]

Limit[(Sqrt[(x - 1) (x - 2)]), x -> 2]

Exemple 2

Calculer la limite de (1/(Sqrt[(x - 1) (x - 2)]))  quand x tend vers  2

Limit[(1/(Sqrt[(x - 1) (x - 2)])), x -> 2]

Exemple 3

Calculer la limite de (1/((x^2) - 3 x + 2)) quand x tend vers  1

par valeurs inférieures

Limit[(1/((x^2) - 3 x + 2)), x -> 1, Direction -> 1]

par valeurs supérieures

Limit[(1/((x^2) - 3 x + 2)), x -> 1, Direction -> -1]

Exemple 4

Calculer la limite de (1/((x^2) - 3 x + 2)) quand x tend vers  2

par valeurs inférieures

Limit[(1/((x^2) - 3 x + 2)), x -> 2, Direction -> 1]

par valeurs supérieures

Limit[(1/((x^2) - 3 x + 2)), x -> 2, Direction -> -1]

Est-ce cohérent avec la représentation graphique de la fonction?

Plot[(1/((x^2) - 3 x + 2)), {x, 0, 3}];

Exemple 5

Calculer la limite de ((sin(x) - sinh(x))/(-((x^2)/2) - x + 
                (e^x) - 1)) quand x tend vers  0

Limit[((Sin[x] - Sinh[x])/(Exp[x] - 1 - x - ((x^2)/2))), x -> 0]

Exemple 6

Calculer la limite de ((cos(x) - (2/((x^2) + 2)))/(x^4)) quand x tend vers  0

Limit[((Cos[x] - (2/(2 + (x^2))))/(x^4)), x -> 0]

Exemple 7

Calculer la limite de ((cosh(x) - ((5 (x^2) + 12)/(12 - (x^2))))/(x^4))quand x tend vers  0

Limit[((Cosh[x] - ((12 + 5 (x^2))/(12 - (x^2))))/(x^4)), x -> 0]

Exemple 8

Calculer la limite de (((Sqrt[x + 3]) - ((3 x + 5)^(1/3)))/(tan(x - 1)))quand x tend vers  1

Limit[(((Sqrt[x + 3]) - (((3 x + 5))^(1/3)))/Tan)[x - 1], 
      x -> 1]

Exemple 9

Calculer la limite de (((5 cos(x) - 8) x + 3 ((x^2) + 1) sin(x))/(x
                ^5)) quand x tend vers  0

Exemple 10

Calculer la limite de x-log(cosh(x)) quand x tend vers  +∞

Limit[((3 (1 + (x^2)) Sin[x] + x (5 Cos[x] - 8))/(x^5)), 
      x -> 0]

Limit[x - Log[Cosh[x]], x -> ∞]

x - Log[Cosh[x]] /. {Cosh[x] -> (1/2) (Exp[x] + Exp[-x])}

Expand[(1/2) Exp[x] (1 - Exp[-2 x])]

x - Log[(1/2) Exp[x] (1 - Exp[-2 x])] //. {
        Log[a_ b_] -> Log[a] + Log[b]}

% /. Log[Exp[x]] -> x

Limit[Log[1 - (E^(-2 x))], x -> ∞]

Exemple 11

Calculer les limites de \(TraditionalForm
      \`e\^\(x\^3\)\ 
        \((x\^5 + log(|x|))\)\) quand x tend vers  -∞

Limit[Exp[(x^3)] ((x^5) + Log[Abs[x]]), x -> -∞]

Exemple 12

Calculer la limite de (((log(cos(x)) + 1))^((((1/(sin(x)))))^2)) quand x tend vers  0

Limit[(((1 + Log[Cos[x]]))^(((((1/Sin)[x]))^2))), x -> 0]

Exemple 13

Calculer la limite de \(TraditionalForm
      \`x\^2\ \((
          \((1 + 1\/x)\)\^x - 4\ \((1 + 1\/\(2\ x\))\)\^\(2\ x\) + 
            3\ \((1 + 1\/\(3\ x\))\)\^\(3\ x\))\)\)
 quand x tend vers +∞

Limit[
      (x^2) ((((1 + (1/x)))^x) - 4 (((1 + (1/(2 x))))^(2 x)) + 
            3 (((1 + (1/(3 x))))^(3 x))), x -> ∞]

Exemple 14

Calculer les limites de \(TraditionalForm
      \`e\^\(x\^3\)\ 
        \((x\^5 + log(|x|))\)\) quand x tend vers  -∞

Needs["Calculus`Limit`"]

Limit[Exp[(x^3)] ((x^5) + Log[Abs[x]]), x -> -∞]

Limit[Exp[(x^3)] ((x^5) + Log[-x]), x -> -∞]

Exemple 15

Calculer la limite de \(TraditionalForm
      \`\((log(cos(x)) + 1)\)\^\(\((1\/\(sin(x)\))\)\^2\)\) quand x tend vers  0

Limit[(((1 + Log[Cos[x]]))^(((((1/Sin)[x]))^2))), x -> 0]

Plot[
      (((1 + Log[Cos[x]]))^(((((1/Sin)[x]))^2))), {x, -(1/10), 
        (1/10)}];

Exemple 16

Calculer la limite de \(TraditionalForm
      \`x\^2\ \((
          \((1 + 1\/x)\)\^x - 4\ \((1 + 1\/\(2\ x\))\)\^\(2\ x\) + 
            3\ \((1 + 1\/\(3\ x\))\)\^\(3\ x\))\)\)
quand x tend vers +∞

Limit[
      (x^2) ((((1 + (1/x)))^x) - 4 (((1 + (1/(2 x))))^(2 x)) + 
            3 (((1 + (1/(3 x))))^(3 x))), x -> ∞]

N[%]

Plot[
      (x^2) ((((1 + (1/x)))^x) - 4 (((1 + (1/(2 x))))^(2 x)) + 
            3 (((1 + (1/(3 x))))^(3 x))), {x, 1, 100}];

Show[%, Graphics[Line[{{0, 0.415293}, {100, 0.415293}}]]];

Exemple 17

Calculer la limite de ((((t/n) + 1))^n) quand x tend vers +∞

Limit[(((1 + (t/n)))^n), n -> ∞]

Limit[Exp[(t^2) x], x -> ∞]

% /. t -> (Sqrt[2])