(************** Content-type: application/mathematica ************** CreatedBy='Mathematica 4.2' Mathematica-Compatible Notebook This notebook can be used with any Mathematica-compatible application, such as Mathematica, MathReader or Publicon. The data for the notebook starts with the line containing stars above. To get the notebook into a Mathematica-compatible application, do one of the following: * Save the data starting with the line of stars above into a file with a name ending in .nb, then open the file inside the application; * Copy the data starting with the line of stars above to the clipboard, then use the Paste menu command inside the application. Data for notebooks contains only printable 7-bit ASCII and can be sent directly in email or through ftp in text mode. Newlines can be CR, LF or CRLF (Unix, Macintosh or MS-DOS style). 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This abstract presents the application of \ ", StyleBox["Mathematica", FontSlant->"Italic"], " to the design of a linear observer circuit for a hyperchaotic oscillator. \ ", StyleBox["Mathematica", FontSlant->"Italic"], " is used to simulate the hyperchaotic oscillator, determine state feedback \ gains for pole (eigenvalue) placement, investigate the sensitivity of system \ stability to these gains, verify observer performance, investigate noise \ effects, and insure that control signals are within the dynamic range of \ circuit elements. This abstract provides all needed code and other details of \ using ", StyleBox["Mathematica", FontSlant->"Italic"], " not presented in the companion paper [1]. That paper describes more \ general theoretical results and detailed experimental data for the observer \ designed here." }], "Text"] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["Hyperchaotic Oscillator", FontColor->GrayLevel[1]]], "Section", Background->RGBColor[0.670008, 0.790005, 0.380011]], Cell["\<\ The following packages and definitions are required before \ proceeding:\ \>", "Text"], Cell[BoxData[{ \(<< LinearAlgebra`MatrixManipulation`; << Graphics`Graphics`;\), "\[IndentingNewLine]", \(mH = 0.001; uF = 10^\((\(-6.0\))\); Kohms = 1000; mV = 0.001; mA = 0.001; ms = 0.001;\)}], "Input", CellLabel->"In[1]:="], Cell["\<\ The hyperchaotic oscillator of interest here was proposed in [2] \ and is shown in Figure 1 . 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Four dimensional hyperchaotic oscillator [2]", "Caption", TextAlignment->-0.5], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["Diode Model", FontColor->RGBColor[0.260014, 0.370001, 0], Magnification->1]], "Subsection", FontColor->RGBColor[0.260014, 0.370001, 0]], Cell["\<\ The most straightforward approach to simulating this circuit is to \ numerically solve the associated differential equations (1). The \ relationship between the diode current iD and the node voltage vC2 is\ \>", \ "Text"], Cell["vC2 = R2 iD + vD[iD]", "Equation"], Cell["\<\ where vD is the forward diode voltage drop. Explicitly solving for \ iD[vC2] is not possible as vD[iD] is a transcendental function. In order to \ approximate this function an interpolation over numerically generated \ solution points is used. First, the component values for the drive system \ (the hyperchaotic oscillator), the observer system (to be discussed), and the \ \"ideal\" values of the components are set.\ \>", "Text"], Cell["\<\ actualdrivevals={L1->98.3 mH,L2->32.6mH,C1->0.0980uF,C2->0.0327uF, R1->1.5594 Kohms,R2->50.5,RL1->68.5,RL2->32.3}; actualobsvals={L1->98.8 mH,L2->33.1mH,C1->0.0976uF,C2->0.0326uF, R1->1.5740 Kohms,R2->50.5,RL1->70.3,RL2->32.4}; standardvals={L1->100.0 mH,L2->33.0mH,C1->0.1uF,C2->0.033uF, R1->1.6 Kohms,R2->51,RL1->69.15,RL2->32.3};\ \>", "Input", CellLabel->"In[4]:="], Cell[TextData[{ "This section of code generates an approximate f[", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`v\_C2\)]], "]." }], "Text"], Cell["\<\ iD[vD_,Is_,n_, VT_]:=Is(Exp[vD/(n VT)]-1); Off[Solve::ifun];Off[InverseFunction::ifun]; solA=Solve[iD[0.7,Is,2,25.2 mV]==4.72 mA, Is][[1]]; vD[iD_, Is_, n_, VT_]:=n VT Log[iD/Is+1]; iD[vC2_]:=iD /. Solve[(R2 /. actualdrivevals) iD + vD[iD, Is /. solA, 2, 25.2 mV]==vC2,iD][[1]]; tmp=Table[{vC2,iD[vC2] (R2 /. actualdrivevals)},{vC2,0,1,0.01}]; zeropad=Table[{vC2,0},{vC2,-2.5,-0.1,0.1}]; iDTable=Join[zeropad,tmp]; f=Interpolation[iDTable,InterpolationOrder->1];\ \>", "Input", CellLabel->"In[7]:="] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["Simulation", FontColor->RGBColor[0.260014, 0.370001, 0], Magnification->1]], "Subsection", FontColor->RGBColor[0.260014, 0.370001, 0]], Cell[TextData[{ "Using the approximate f[", Cell[BoxData[ \(TraditionalForm\`v\_C2\)]], "] system (1) can be numerically solved; these results will be needed to \ simulate the observer. Note that time is normalized to 0.16 ms. Related plots \ will be provided later in the abstract." }], "Text"], Cell["\<\ Off[General::spell1]; A={{1/(R1 C1), 0, -1/C1, -1/C1}, {0,0,0,1/C2}, {1/L1,0,-RL1/L1,0}, {1/L2,-1/L2,0,-RL2/L2}}; B={0,-1/(R2 C2),0,0}; tnorm=(R1 C1 /. standardvals); Anormsym=tnorm A;Bnormsym=tnorm B; Anorm=Anormsym /. actualdrivevals; Bnorm=Bnormsym /. actualdrivevals; x={vC1[t],vC2[t],iL1[t],iL2[t]}; tmp=Anorm . x + Bnorm f[vC2[t]];vars=x; eqns={vC1'[t]==Part[tmp,1],vC2'[t]==Part[tmp,2], iL1'[t]==Part[tmp,3], iL2'[t]==Part[tmp,4], vC1[0]==-0.05,vC2[0]==-0.6,iL1[0]==-0.0002, iL2[0]==0.0002}; actualdrivesol=NDSolve[eqns,vars,{t,0,170},MaxSteps->25000];\ \>", "Input", CellLabel->"In[16]:="] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["Linear Observer", FontColor->GrayLevel[1]]], "Section", Background->RGBColor[0.670008, 0.790005, 0.380011]], Cell["The linear observer circuit is shown in Figure 2. ", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(\(Show[Import["\"]];\)\)], "Input", CellLabel->"In[27]:="], Cell[GraphicsData["PostScript", "\<\ %! %%Creator: Mathematica %%AspectRatio: .68768 %%ImageSize: 350 241 MathPictureStart /Mabs { Mgmatrix idtransform Mtmatrix dtransform } bind def /Mabsadd { Mabs 3 -1 roll add 3 1 roll add exch } bind def %% Graphics %%IncludeResource: font Courier %%IncludeFont: Courier /Courier findfont 10 scalefont setfont % Scaling calculations 1.53957e-17 0.00286533 -0.00286533 0.00286533 [ [ 0 0 0 0 ] [ 1 .68768 0 0 ] ] MathScale % Start of Graphics 1 setlinecap 1 setlinejoin newpath 0 0 m 1 0 L 1 .68768 L 0 .68768 L closepath clip newpath % Start of colorimage (RGB) p 0 -0.00287 translate 1.00287 .69055 scale 1050 string 350 241 8 [350 0 0 241 0 0] { \tcurrentfile \t1 index \treadhexstring \tpop } false 3 Mcolorimage FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 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00;oo`03003ooooo00?oo`03003oo`0000Goo`05003oooooool0000jool001Woo`03003ooooo05[o o`03003ooooo00Koo`03003ooooo02goo`03003ooooo00koo`<000;oo`04003oo`000002ool00`00 ooooo`03ool00`00ool00004ool20003ool00`00ooooo`0hool001[oo`8000Ooo`04003ooooo001? ool00`00ooooo`0eool00`00ooooo`0Dool01000ool000000_oo00<00?ooool02_oo0P000ooo00<0 0?ooool0>?oo000Mool00`00ooooo`05ool00`00ooooo`1>ool00`00ooooo`0eool00`00ooooo`0I ool00`00ooooo`09ool00`00ooooo`03ool00`00ooooo`0iool001coo`8000Koo`<004ooo`03003o oooo03Goo`03003ooooo01ooo`03003ooooo04Goo`006ooo00<00?ooool01_oo00@00?ooool004ko o`03003ooooo03Goo`03003ooooo023oo`03003oo`0004Coo`006_oo00<00?ooool01ooo00@00?oo ool004koo`03003ooooo03Goo`03003ooooo023oo`8004Goo`00M_oo00<00?ooool0=Ooo00<00?oo ool0Iooo000Hool00`00ooooo`1Kool00`00ooooo`0eool00`00ooooo`1Wool001Woo`03003ooooo 05[oo`8003Koo`03003ooooo06Ooo`006_oo0P00FOoo>P00JOoo000Mool00`00ooooo`1Fool00`00 ooooo`2Oool001coo`8005Soo`03003ooooo09ooo`006ooo00<00?ooool0F?oo00<00?ooool0Wooo 000Jool00`00ooooo`1Iool00`00ooooo`2Oool001[oo`03003ooooo05Woo`03003ooooo09ooo`00 6_oo00<00?ooool0FOoo00<00?ooool0Wooo000Jool00`00ooooo`1Iool00`00ooooo`2Oool001[o o`03003ooooo05Woo`03003ooooo09ooo`006_oo00<00?ooool0E_oo0P00Xooo000Jool00`00oooo o`1Gool00`00ooooo`2Qool001[oo`03003ooooo05Soo`03003ooooo0:3oo`006_oo00<00?ooool0 Fooo00<00?ooool0WOoo000Jool00`00ooooo`1Lool00`00ooooo`2Lool001[oo`03003ooooo037o o`8002Woo`03003ooooo09coo`006_oo00<00?ooool0ool001[oo`03003ooooo037oo`03003ooooo02Ooo`03003ooooo00Wo o`03003ooooo097oo`006_oo00<00?ooool0ool00`00ooooo`0> ool00`00ooooo`1=ool00`00ooooo`1?ool001Ooo`03003ooooo00Soo`03003ooooo02Woo`03003o oooo01Coo`8000ooo`03003ooooo04goo`03003ooooo04ooo`005_oo00<00?ooool02Ooo00<00?oo ool0:Ooo00<00?ooool05Ooo00<00?ooool03Ooo00<00?ooool0COoo00<00?ooool0Cooo000Gool0 0`00ooooo`08ool00`00ooooo`0Lool2000;ool00`00ooooo`0Dool2000?ool00`00ooooo`1=ool0 0`00ooooo`1?ool001Ooo`03003ooooo00Soo`03003ooooo01goo`03003ooooo00Woo`03003ooooo 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@ooo0P00Dooo000_oo0P002Ooo00<00?ooool0Cooo000Gool00`00ooooo`0@ool2000Rool00`00 ooooo`0Rool00`00ooooo`08ool00`00ooooo`0kool00`00ooooo`06ool00`00ooooo`1@ool001Oo o`03003ooooo017oo`03003ooooo023oo`03003ooooo01coo`03003ooooo00?oo`03003ooooo00So o`03003ooooo03_oo`03003ooooo00Goo`03003ooooo057oo`009ooo00D00?ooooooo`0002;oo`03 003ooooo01Koo`@000?oo`03003ooooo00?oo`03003ooooo00Ooo`03003ooooo03_oo`8000Koo`80 05;oo`006Ooo0P00?oo0P00D?oo000Jool00`00ooooo`0a ool00`00ooooo`0Sool00`00ooooo`07ool00`00ooooo`06ool00`00ooooo`0nool2001>ool001[o o`03003ooooo037oo`03003ooooo02;oo`03003ooooo00Soo`03003ooooo00Koo`8008ooo`006_oo 00<00?ooool0ool00`00ooooo`0lool00`00ooooo`1?ool001[oo`03003ooooo037oo`03 003ooooo02Goo`03003ooooo00coo`8003ooo`03003ooooo04ooo`006_oo00<00?ooool0"], ImageRangeCache->{{{57.5625, 336.562}, {460, 268.25}} -> {-72.1496, 336.75, \ 1.0013, 1.0013}}] }, Open ]], Cell["\<\ Figure 2. Linear observer for the hyperchaotic oscillator of Figure \ 1.\ \>", "Caption", TextAlignment->-0.5, TextJustification->0], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["Design via Pole Placement", FontColor->RGBColor[0.260014, 0.370001, 0], Magnification->1]], "Subsection", FontColor->RGBColor[0.260014, 0.370001, 0]], Cell["\<\ If the hyperchaotic oscillator supplies the scalar signal y = \ f[vC2] + K x, where K is a vector of state feedback gains, and the observer \ supplies the signal yhat = K xhat, where xhat contains the analogous observer \ states, the error between the two systems is linear and described by \ [1]\ \>", "Text"], Cell[BoxData[ FormBox[ RowBox[{ RowBox[{ StyleBox["e", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Plain", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox["'", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}]}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox["=", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ StyleBox["(", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], RowBox[{ StyleBox["x", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Plain", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox["-", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox["xhat", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}]}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox[")", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}]}], StyleBox["'", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}]}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox["=", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], RowBox[{ RowBox[{ StyleBox["(", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], RowBox[{ StyleBox["A", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Plain", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Italic", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox["-", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Italic", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Italic", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], RowBox[{ StyleBox["B", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Plain", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox["K", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Plain", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}]}]}], StyleBox[")", FontWeight->"Bold", FontSlant->"Italic", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}]}], StyleBox[" ", FontWeight->"Bold", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}], StyleBox[\(\(e\)\(\ \)\(.\)\), FontWeight->"Bold", FontSlant->"Plain", FontVariations->{"CompatibilityType"->0}]}]}]}], TraditionalForm]], "Equation", CellTags->"Quartic"], Cell["\<\ The observer error e can be asymptotically forced to zero by an \ appropriate choice of K since K sets the error system pole (eigenvalue) \ locations. These pole locations are chosen to provide an ITAE response [3] \ which corresponds to the characteristic equation:\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ Chop[Expand[w0^4 (s/w0 + 0.4240 + 1.2630 I)(s/w0 + 0.4240 - 1.2630 \ I)(s/w0+0.6260 + 0.4141 I)(s/w0 + 0.6260 - 0.4141 I)]]\ \>", "Input", CellLabel->"In[28]:="], Cell[BoxData[ \(s\^4 + 2.1`\ s\^3\ w0 + 3.3999958099999996`\ s\^2\ w0\^2 + 2.6999560188799996`\ s\ w0\^3 + 0.9999238032354499`\ w0\^4\)], "Output",\ CellLabel->"Out[28]="] }, Open ]], Cell["\<\ The next section of code generates a table of gains for the \ normalized system for various values of w0.\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ Anorm= Anormsym /. standardvals;Bnorm=Bnormsym /. standardvals; ITAE[s_,w0_]:= s^4 + 2.1 s^3 Sqrt[w0] + 3.4s^2 Sqrt[w0]^2 + 2.7 s Sqrt[w0]^3+Sqrt[w0]^4; gains[w0_] := (K=Array[k,4]; desiredpoly=ITAE[s,w0]; charpoly = Chop[Det[s IdentityMatrix[4]- (Anorm-Outer[Times,Bnorm,K])]]; eqns={Coefficient[desiredpoly,s]==Coefficient[charpoly,s], \ Coefficient[desiredpoly,s^2]==Coefficient[charpoly,s^2], \ Coefficient[desiredpoly,s^3]==Coefficient[charpoly,s^3], \ Part[desiredpoly,1]== Part[charpoly,1]+Part[charpoly,6]+Part[charpoly,8]+ Part[charpoly,12]+Part[charpoly,13]}; Ksol=Solve[eqns,K][[1]]); Table[gains[w0],{w0,10,50,10}] // MatrixForm\ \>", "Input", CellLabel->"In[29]:="], Cell[BoxData[ TagBox[ RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{ {\(k[1] \[Rule] \(-0.048806856918932544`\)\), \(k[ 2] \[Rule] \(-0.0775603925895819`\)\), \(k[ 3] \[Rule] \(-12.71835236054747`\)\), \(k[4] \[Rule] 12.642772965534828`\)}, {\(k[1] \[Rule] \(-0.26636833453740827`\)\), \(k[ 2] \[Rule] \(-0.10649434366096884`\)\), \(k[ 3] \[Rule] \(-174.25776673737855`\)\), \(k[4] \[Rule] 90.7783098329291`\)}, {\(k[1] \[Rule] \(-0.5545365358616192`\)\), \(k[ 2] \[Rule] \(-0.12869614518690678`\)\), \(k[ 3] \[Rule] \(-502.0533429793597`\)\), \(k[4] \[Rule] 167.8964135734449`\)}, {\(k[1] \[Rule] \(-0.8974250864078939`\)\), \(k[ 2] \[Rule] \(-0.14741312967916378`\)\), \(k[ 3] \[Rule] \(-996.4091546856664`\)\), \(k[4] \[Rule] 244.48785517325194`\)}, {\(k[1] \[Rule] \(-1.2866038092483354`\)\), \(k[ 2] \[Rule] \(-0.16390312404672594`\)\), \(k[ 3] \[Rule] \(-1657.6004176363224`\)\), \(k[4] \[Rule] 320.7427306420188`\)} }], "\[NoBreak]", ")"}], Function[ BoxForm`e$, MatrixForm[ BoxForm`e$]]]], "Output", CellLabel->"Out[32]//MatrixForm="] }, Open ]], Cell["\<\ The gains for w0=30 rad/sec are chosen and the resulting \ eigenvalues are checked:\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ idealKsol=gains[30] Eigenvalues[Anorm-Outer[Times,Bnorm,K /.idealKsol]]\ \>", "Input", CellLabel->"In[33]:="], Cell[BoxData[ \({k[1] \[Rule] \(-0.5545365358616192`\), k[2] \[Rule] \(-0.12869614518690678`\), k[3] \[Rule] \(-502.0533429793597`\), k[4] \[Rule] 167.8964135734449`}\)], "Output", CellLabel->"Out[33]="], Cell[BoxData[ \({\(-2.3222468874027893`\) + 6.917690666631073`\ \[ImaginaryI], \(-2.3222468874027893`\) - 6.917690666631073`\ \[ImaginaryI], \(-3.4288399664014495`\) + 2.26833197791884`\ \[ImaginaryI], \(-3.4288399664014495`\) - 2.26833197791884`\ \[ImaginaryI]}\)], "Output", CellLabel->"Out[34]="] }, Open ]], Cell["\<\ Realistic gains are used for subsequent calculations yielding these \ normalized and unnormalized eigenvalues:\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ actualKsol={k[1]\[Rule]-0.555,k[2]\[Rule]-0.129,k[3]\[Rule]-502,k[4]\ \[Rule]168}; Eigenvalues[Anorm-Outer[Times,Bnorm,K /.actualKsol]] Eigenvalues[Anorm-Outer[Times,Bnorm,K /.actualKsol]] / (0.16 ms) Eigenvalues[(A /. standardvals)-Outer[Times,(B /. standardvals),K /. \ actualKsol]]\ \>", "Input", CellLabel->"In[35]:="], Cell[BoxData[ \({\(-2.3230491796236192`\) + 6.905364892807615`\ \[ImaginaryI], \(-2.3230491796236192`\) - 6.905364892807615`\ \[ImaginaryI], \(-3.442481159057306`\) + 2.259882598527921`\ \[ImaginaryI], \(-3.442481159057306`\) - 2.259882598527921`\ \[ImaginaryI]}\)], "Output", CellLabel->"Out[36]="], Cell[BoxData[ \({\(-14519.057372647618`\) + 43158.53058004759`\ \[ImaginaryI], \(-14519.057372647618`\) - 43158.53058004759`\ \[ImaginaryI], \(-21515.507244108157`\) + 14124.266240799505`\ \[ImaginaryI], \(-21515.507244108157`\) - 14124.266240799505`\ \[ImaginaryI]}\)], "Output", CellLabel->"Out[37]="], Cell[BoxData[ \({\(-14519.05737264758`\) + 43158.53058004759`\ \[ImaginaryI], \(-14519.05737264758`\) - 43158.53058004759`\ \[ImaginaryI], \(-21515.50724410821`\) + 14124.266240799589`\ \[ImaginaryI], \(-21515.50724410821`\) - 14124.266240799589`\ \[ImaginaryI]}\)], "Output", CellLabel->"Out[38]="] }, Open ]], Cell["\<\ Finally, error system pole locations for 500 gains with a uniform \ 5% error are checked. Poles remain in the left half plane and thus the error \ system remains stable for this level of gain error.\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ k1l=0.95 k[1] /. actualKsol; k1u=1.05 k[1] /. actualKsol; k2l=0.95 k[2] /. actualKsol; k2u=1.05k[2] /. actualKsol; k3l=0.95k[3] /.actualKsol; k3u=1.05 k[3] /. actualKsol; k4l=0.95 k[4] /.actualKsol;k4u=1.05 k[4] /. actualKsol; For[{i=1;xypts={};SeedRandom[5]},i<=500,i++, \t{randK={k[1]->Random[Real,{k1l,k1u}], \t k[2]->Random[Real,{k2l,k2u}], \t\t\tk[3]->Random[Real,{k3l,k3u}], \t\t\tk[4]->Random[Real,{k4l,k4u}]}; \t eigenvals= Eigenvalues[(A /. standardvals) - Outer[Times,(B /. standardvals),(K/. randK)]]; xypts=Insert[xypts,{Re[Part[eigenvals,1]],Im[Part[eigenvals,1]]},1]; xypts=Insert[xypts,{Re[Part[eigenvals,2]],Im[Part[eigenvals,2]]},1]; xypts=Insert[xypts,{Re[Part[eigenvals,3]],Im[Part[eigenvals,3]]},1]; \ xypts=Insert[xypts,{Re[Part[eigenvals,4]],Im[Part[eigenvals,4]]},1];} ]; ListPlot[xypts, Frame->True, AxesLabel->{\"Re[s]\",\"Im[s]\"}, AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{{-30000,1000},{-50000,50000}}, FrameTicks-> {{-10000,-20000,1000},{-40000,-20000,0,20000,40000},{},{}}, FormatType->OutputForm, Axes->True];\ \>", "Input", CellLabel->"In[39]:="], Cell[GraphicsData["PostScript", "\<\ %! %%Creator: Mathematica %%AspectRatio: .61803 MathPictureStart /Mabs { Mgmatrix idtransform Mtmatrix dtransform } bind def /Mabsadd { Mabs 3 -1 roll add 3 1 roll add exch } bind def %% Graphics %%IncludeResource: font Courier %%IncludeFont: Courier /Courier findfont 10 scalefont setfont % Scaling calculations 0.967742 3.22581e-05 0.309017 6.18034e-06 [ [.64516 -0.0125 -18 -9 ] [.64516 -0.0125 18 0 ] [.32258 -0.0125 -18 -9 ] [.32258 -0.0125 18 0 ] [1 -0.0125 -12 -9 ] [1 -0.0125 12 0 ] [ 0 0 -0.125 0 ] [-0.0125 .0618 -36 -4.5 ] [-0.0125 .0618 0 4.5 ] [-0.0125 .18541 -36 -4.5 ] [-0.0125 .18541 0 4.5 ] [-0.0125 .30902 -6 -4.5 ] [-0.0125 .30902 0 4.5 ] [-0.0125 .43262 -30 -4.5 ] [-0.0125 .43262 0 4.5 ] [-0.0125 .55623 -30 -4.5 ] [-0.0125 .55623 0 4.5 ] [ 0 0 -0.125 0 ] [ 0 .61803 .125 0 ] [ 1 0 .125 0 ] [1.025 .30902 0 -4.5 ] [1.025 .30902 30 4.5 ] [.96774 .64303 -15 0 ] [.96774 .64303 15 9 ] [ 0 0 0 0 ] [ 1 .61803 0 0 ] ] MathScale % Start of Graphics 1 setlinecap 1 setlinejoin newpath 0 g .25 Mabswid [ ] 0 setdash .64516 0 m .64516 .00625 L s [(-10000)] .64516 -0.0125 0 1 Mshowa .32258 0 m .32258 .00625 L s [(-20000)] .32258 -0.0125 0 1 Mshowa 1 0 m 1 .00625 L s [(1000)] 1 -0.0125 0 1 Mshowa 0 0 m 1 0 L s 0 .0618 m .00625 .0618 L s [(-40000)] -0.0125 .0618 1 0 Mshowa 0 .18541 m .00625 .18541 L s [(-20000)] -0.0125 .18541 1 0 Mshowa 0 .30902 m .00625 .30902 L s [(0)] -0.0125 .30902 1 0 Mshowa 0 .43262 m .00625 .43262 L s [(20000)] -0.0125 .43262 1 0 Mshowa 0 .55623 m .00625 .55623 L s [(40000)] -0.0125 .55623 1 0 Mshowa 0 0 m 0 .61803 L s 0 .61803 m 1 .61803 L s 1 0 m 1 .61803 L s 0 .30902 m 1 .30902 L s [(Re[s])] 1.025 .30902 -1 0 Mshowa .96774 0 m .96774 .61803 L s [(Im[s])] .96774 .64303 0 -1 Mshowa 0 0 m 1 0 L 1 .61803 L 0 .61803 L closepath clip newpath .008 w .2883 .22001 Mdot .2883 .39802 Mdot .46995 .03974 Mdot .46995 .5783 Mdot .15942 .23483 Mdot .15942 .38321 Mdot .55386 .05787 Mdot .55386 .56016 Mdot .29581 .21215 Mdot .29581 .40588 Mdot .48372 .04223 Mdot .48372 .5758 Mdot .3204 .2184 Mdot .3204 .39963 Mdot .49608 .0328 Mdot .49608 .58524 Mdot .29052 .21978 Mdot .29052 .39825 Mdot .49262 .03766 Mdot .49262 .58037 Mdot .26115 .23109 Mdot .26115 .38694 Mdot .54876 .0351 Mdot .54876 .58293 Mdot .24671 .23636 Mdot .24671 .38167 Mdot .54322 .03591 Mdot .54322 .58213 Mdot .24302 .24027 Mdot .24302 .37776 Mdot .53448 .03644 Mdot .53448 .5816 Mdot .34853 .20385 Mdot .34853 .41419 Mdot .39969 .04803 Mdot .39969 .57 Mdot .28163 .22151 Mdot .28163 .39652 Mdot .51992 .04296 Mdot .51992 .57507 Mdot .27985 .20666 Mdot .27985 .41137 Mdot .45818 .05629 Mdot .45818 .56175 Mdot .29132 .2131 Mdot .29132 .40493 Mdot .52359 .04267 Mdot .52359 .57537 Mdot .30317 .21196 Mdot .30317 .40607 Mdot .51929 .0423 Mdot .51929 .57573 Mdot .33516 .21217 Mdot .33516 .40587 Mdot .47045 .03841 Mdot .47045 .57963 Mdot .25092 .21546 Mdot .25092 .40257 Mdot .51368 .05246 Mdot .51368 .56557 Mdot .23646 .23435 Mdot .23646 .38369 Mdot .53491 .03867 Mdot .53491 .57936 Mdot .33174 .2137 Mdot .33174 .40434 Mdot .45641 .04138 Mdot .45641 .57665 Mdot .2437 .22285 Mdot .2437 .39518 Mdot .47513 .04632 Mdot .47513 .57171 Mdot .33829 .20949 Mdot .33829 .40855 Mdot .47973 .03794 Mdot .47973 .5801 Mdot .36022 .20682 Mdot .36022 .41121 Mdot .43367 .0392 Mdot .43367 .57884 Mdot .16075 .24181 Mdot .16075 .37623 Mdot .55728 .0533 Mdot .55728 .56474 Mdot .19429 .22662 Mdot .19429 .39141 Mdot .53375 .05982 Mdot .53375 .55822 Mdot .2302 .2305 Mdot .2302 .38754 Mdot .53537 .0419 Mdot .53537 .57613 Mdot .32665 .21034 Mdot .32665 .4077 Mdot .48382 .03849 Mdot .48382 .57955 Mdot .25198 .23223 Mdot .25198 .3858 Mdot .55877 .03256 Mdot .55877 .58547 Mdot .24813 .23038 Mdot .24813 .38766 Mdot .5109 .04203 Mdot .5109 .57601 Mdot .27182 .21288 Mdot .27182 .40515 Mdot .44945 .05229 Mdot .44945 .56575 Mdot .21648 .23623 Mdot .21648 .38181 Mdot .53231 .04654 Mdot .53231 .5715 Mdot .20174 .22616 Mdot .20174 .39187 Mdot .55442 .05287 Mdot .55442 .56517 Mdot .23622 .23241 Mdot .23622 .38563 Mdot .47533 .04801 Mdot .47533 .57003 Mdot .23226 .23479 Mdot .23226 .38324 Mdot .55091 .03971 Mdot .55091 .57832 Mdot .26204 .23119 Mdot .26204 .38685 Mdot .5351 .03621 Mdot .5351 .58183 Mdot .25322 .21599 Mdot .25322 .40205 Mdot .48556 .05412 Mdot .48556 .56392 Mdot .22632 .22681 Mdot .22632 .39123 Mdot .49231 .04975 Mdot .49231 .56828 Mdot .33808 .21643 Mdot .33808 .4016 Mdot .45219 .03473 Mdot .45219 .5833 Mdot .30989 .21043 Mdot .30989 .40761 Mdot .473 .0467 Mdot .473 .57134 Mdot .14024 .2547 Mdot .14024 .36334 Mdot .58499 .05018 Mdot .58499 .56785 Mdot .23324 .23419 Mdot .23324 .38385 Mdot .5433 .04377 Mdot .5433 .57427 Mdot .28742 .22882 Mdot .28742 .38921 Mdot .52733 .0346 Mdot .52733 .58344 Mdot 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The synchronizing signal", "Caption", TextAlignment->-0.5], Cell["\<\ This code simulates the observer and plots the oscillator (blue) \ and observer (red) vC2 state. Note that the observer closely follows the \ oscillator.\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell["\<\ Anorm=Anormsym /. actualobsvals; Bnorm=Bnormsym /. actualobsvals; xhat={vC1hat[t],vC2hat[t],iL1hat[t],iL2hat[t]}; yhat[t_]:=(k[1] /. actualKsol) vC1hat[t] + (k[2] /. actualKsol) vC2hat[t] + \ (k[3] /. actualKsol) iL1hat[t] +(k[4]/.actualKsol)iL2hat[t]; tmp = Anorm . xhat + Bnorm (y[t]-yhat[t]); vars=xhat; eqns={vC1hat'[t]==Part[tmp,1],vC2hat'[t]==Part[tmp,2], iL1hat'[t]==Part[tmp,3],iL2hat'[t]==Part[tmp,4], vC1hat[0]==-0.01,vC2hat[0]==0,iL1hat[0]==0,iL2hat[0]==0}; actualobssol=NDSolve[eqns,vars,{t,0,170},MaxSteps->120000]; Plot[ {Evaluate[vC2hat[t]/.actualobssol],Evaluate[vC2[t]/.actualdrivesol]}, {t,50,80},PlotStyle\[Rule]{{RGBColor[1,0,0]},{RGBColor[0,0,1]}}, PlotRange\[Rule]All,AxesLabel->{\"t\",\"vC2\"}]; \ \>", "Input", CellLabel->"In[51]:="], Cell[GraphicsData["PostScript", "\<\ %! %%Creator: Mathematica %%AspectRatio: .61803 MathPictureStart /Mabs { Mgmatrix idtransform 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Hyperchaotic oscillator and observer waveforms for state \ vC2\ \>", "Caption", TextAlignment->-0.5] }, Open ]] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["Conclusion", FontColor->GrayLevel[1]]], "Section", Background->RGBColor[0.670008, 0.790005, 0.380011]], Cell[TextData[{ "This abstract has described how ", StyleBox["Mathematica", FontSlant->"Italic"], " was used to design a linear observer circuit for a hyperchaotic system. \ Consult [1] for further details including a quantitative evaluation of \ simulated and experimental observer performance." }], "Text"] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["References", FontColor->GrayLevel[1]]], "Section", Background->RGBColor[0.670008, 0.790005, 0.380011]], Cell[TextData[{ "[1] D. A. Miller and G. 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Reading, MA: Addison-Wesley, 1986.\n" }], "Text"] }, Open ]] }, FrontEndVersion->"4.2 for X", ScreenRectangle->{{0, 1024}, {0, 768}}, ScreenStyleEnvironment->"Presentation", WindowSize->{1004, 694}, WindowMargins->{{Automatic, 2}, {Automatic, 0}}, PrintingCopies->1, PrintingPageRange->{Automatic, Automatic}, PrintingOptions->{"PrintingMargins"->{{36, 36}, {36, 36}}, "PaperSize"->{612, 792}, "PaperOrientation"->"Portrait", "PrintCellBrackets"->False, "PrintRegistrationMarks"->True, "PrintMultipleHorizontalPages"->False, "PostScriptOutputFile":>FrontEnd`FileName[{$RootDirectory, "home", \ "damill01", "research", "papers", "Mathematica2003"}, \ "MillerGrassiMathConf2003.nb.ps", CharacterEncoding -> "iso8859-1"], "Magnification"->1}, ShowCellBracket->True, Background->RGBColor[0.937255, 0.917647, 0.780392], Magnification->1, StyleDefinitions -> Notebook[{ Cell[CellGroupData[{ Cell["Style Definitions", "Subtitle"], Cell["\<\ Modify the definitions below to change the default appearance of \ all cells in a given style. 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If you edit this Notebook file directly, not using Mathematica, you must remove the line containing CacheID at the top of the file. The cache data will then be recreated when you save this file from within Mathematica. *******************************************************************) (*CellTagsOutline CellTagsIndex->{ "Quartic"->{ Cell[1156354, 16362, 3872, 101, 51, "Equation", CellTags->"Quartic"]} } *) (*CellTagsIndex CellTagsIndex->{ {"Quartic", 1478642, 28019} } *) (*NotebookFileOutline Notebook[{ Cell[1754, 51, 19194, 241, 32, 19027, 236, "GraphicsData", "Bitmap", \ "GraphicHeader", Evaluatable->False], Cell[CellGroupData[{ Cell[20973, 296, 289, 8, 105, "Title"], Cell[21265, 306, 146, 3, 40, "Subtitle"], Cell[21414, 311, 681, 22, 162, "Author"] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[22132, 338, 132, 2, 56, "Section"], Cell[22267, 342, 987, 21, 165, "Text"] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[23291, 368, 143, 2, 56, "Section"], Cell[23437, 372, 96, 3, 25, "Text"], Cell[23536, 377, 250, 5, 65, "Input"], Cell[23789, 384, 180, 4, 45, "Text"], Cell[23972, 390, 1281, 52, 253, "EquationNumbered"], Cell[25256, 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*******************************************************************)